Lineare Unabhängigkeit bestimmen

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben :

Mann sucht bei linearer Unabhängigkeit nach Koeffizienten von Vektoren die entweder 0 oder nicht null sind dann sind die Vektoren entweder linear unabhängig oder abhängig . Man macht das indem man eine Matrix der Vektoren erstellt  und die Determinante davon sucht . Wenn diese 0 ist linear abhängig und bei nicht 0 linear unabhängig.

Meine Frage dazu ist zu a ) :

Hier ergibt das aber eine 2x3 Matrix und davon ist eine Determinante soweit ich weiß nicht definiert .Gibt es hier einen Trick? zb eine 0 Spalte einfügen?

Answer 1

bei 2 Vektoren bedeutet l.abh. auch:

es gibt ein x mit x*b = a

also    x*beta = alpha^2 und x*-1 = 1  und  x*1 = beta

also x = -1 und x = beta und beta^2 = alpha^2

also                -1 = beta und 1 = alpha^2

also sind die beiden nur lin. abhängig für beta = -1 und alpha = 1

oder         beta = -1  und alpha = -1

Comments

Hallo danke für die Antwort und entschuldigung für meine späte .

Du meinst also bei x*b=a das ein vektor ein vielfaches des anderen vektors ist , bzw. x eine beliebige reelle Zahl mit der man a darstellen kann.?

zu b) Würde das funktionieren indem man eine Matrix bildet , die 3 Vektoren als Spalten enthält.

und von dieser die Determinante errechnet . Dann ist die Lineare Abhängigkeit nur bei den Werten für α,β , wenn die Determinante 0 wird , gegeben?

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So kannst du es machen.

Answer 2

bei drei Vektoren des ℝ³ kann man die lineare Unabhängigkeit aus "Spatprodukt ≠ 0" erhalten:

(\( \begin{pmatrix} α \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\) x \( \begin{pmatrix} 0 \\ α \\ 2 \end{pmatrix}\)) • \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ β \end{pmatrix}\) ≠ 0 

⇔  α²· β - 7·α ≠ 0 

[Edit  ⇔ α • (β - 7) ≠ 0  ⇔ α ≠ 0 ∧ β ≠ 7 falsch ausgeklammert ]

⇔ α • (α•β - 7) ≠ 0

⇔ α ≠ 0 ∧ α•β  ≠ 7

Das lässt sich gut einsehen - und damit merken - , weil der Betrag des  Spatprodukts 

= dem Volumen des aufgespannten Spats ist, welches natürlich bei linearer Abhängigkeit 

= 0 ist.

Gruß Wolfgang

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Falsch ausgeklammert?

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Sorry, danke. Habe es korrigiert.