Lineare Unabhängigkeit - Vektor finden

Question

Hallo

gegeben sind folgende Vektoren x = (1/2/a)   und Vektor y=(-3/-6/a)

die Aufgaben lauten:

1)Geben Sie einen Vektor z  an und wählen Sie ein a, so dass x, y und z linear unabhängig

sind. Weisen Sie nach, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

2)gibt es ein a e R, so dass die Vektoren (a/a/a) und (a^2/a^2/a^2) linear unabhängig sind.

Ich konnte die aufgaben leider nicht lösen. Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Answer 1

1)

drei Vektoren  \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) und \(\vec{z}\)  des ℝ³ sind (z.B.) linear unabhängig, wenn ihr "Spatprodukt"

(\(\vec{x}\) x \(\vec{y}\) )• \(\vec{z}\) ≠ 0 ist.

[1, 2, a] ⨯ [-3, -6, a] = [8a, - 4a, 0]

Jetzt musst du nur noch mit passendem a einen Vektor ≠ \(\vec{0}\) finden, für den das Skalarprodukt mit [8·a, - 4·a, 0] ≠ 0 ist:

z.B  a=1:  [ 8, -4, 0] • [1,1,0] ≠ 0

2)

[a²,a²,a²] = a • [a,a,a]  

für a ∉ {0;1} sind die beiden Vektoren also linear abhängig, und der Nullvektor und [1,1,1] sind natürlich auch jeweils mit sich selbst linear abhängig.

Antwort: Nein, gibt es nicht. 

Gruß Wolfgang