Zeigen Sie, dass Y, Z unkorreliert aber nicht unabhängig sind

Question

Sei X gleichverteilt auf dem Intervall [−π, π] und setze Y = cos(X),

Z = sin(X). Zeigen Sie, dass Y, Z unkorreliert aber nicht unabhängig sind.

Answer 1

Heyho,
Ich saß bis eben auch an dieser Aufgabe und habe jetzt endlich eine Lösung (hoffe ich :D ).

Zeige die Unkorreliertheit:

$$ Cov(Y,Z)=Cov(cos(X),sin(X))=E(cos(X)sin(X))-E(cos(X))E(sin(X))=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}cos(x)sin(x)dx-(\frac{1}{2\pi})^{2}(\int_{-\pi}^{\pi}cos(x)dx)(\int_{-\pi}^{\pi}cos(x)dx)=\frac{1}{2\pi}*0-(\frac{1}{2\pi})^{2}*0*0=0$$

==> Y und Z sind unkorreliert

Zeige Abhängigkeit:

$$ P(Y>\frac{3}{4})=P(cos(X)>\frac{3}{4})>0 $$

$$ P(Z>\frac{3}{4})=P(sin(X)>\frac{3}{4})>0 $$

$$ P(Y>\frac{3}{4}\land Z>\frac{3}{4})=P(cos(X)>\frac{3}{4}\land sin(X)>\frac{3}{4}) =0, da\quad cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1$$

==> Y und Z sind voneinander abhängig, also nicht unabhängig.

Ich hoffe das stimmt so alles.

Comments

Vielen vielen  Dank!  war völlig verzweifelt wegen der Aufgabe :D

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Gerne :D hänge aber immernoch bei den anderen Aufgaben -.-

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Ich komme da auch nicht weiter. Diesmal fand ich die Aufgaben nicht so toll :/