Charakteristisches polynom, eigenwert

Question

Lambda aus K ist genau dann ein eigenwert der begleitmatrix zum Polynom wenn Lambda die algebraische Gleichung n-ten grades löst

Weiß jemand vielleicht wie man das hier macht oder was das überhaupt bedeutet. Ich finde der Satz macht Garkeinen Sinn

Mehr steht auch nicht in der Aufgabe

Answer 1

wenn man z.B. die Eigenwerte λ_i (und Eigenvektoren $\vec{x_i}$) der Matrix  A = $\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\end{pmatrix}$ sucht, dann muss für diese die Gleichung

$\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\end{pmatrix}$ • $\vec{x}$  =  λ •  $\vec{x}$  gelten.

↔       $\begin{pmatrix} 1-λ&2\\ 3&4-λ\end{pmatrix}$  • $\vec{x}$  = $\vec{0}$

dies ist der Fall, wenn für die Determinante  det ( $\begin{pmatrix} 1-λ&2\\ 3&4-λ\end{pmatrix}$) = 0 gilt:

(1-λ) (4-λ) - 2•3 = 0   ⇔    λ² - 5λ - 2 = 0     [Eigenwerte: λ₁ = 5/2 - √33/2 und  λ₂ = √33/2 + 5/2 ]

λ² - 5λ - 2  heißt charakteristisches Polynom von A

Gruß Wolfgang

Comments

Danke echt lieb von dir könntest du mir vielleicht noch zeigen wie man bei diesem Beweis vorgehen könnte

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du musst nur das, was ich dir am Beispiel hingeschrieben habe, für eine allgemeine Matrix hinschreiben.

Findest du auch hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem

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Wikipedia hat mir grad nicht so sehr geholfen