bestimmen Sie den Extrempunkt und Wendepunkt der Funktionenschar ƒk(x)=x·e^{-kx}, k>0. :

Question

 Gegeben ist die Funktionsschar ƒ_k (k > 0)  mit  ƒ_k(x)=x·e^-kx    Bestimmen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt des Graphen von f_k

Answer 1

f ( x ) = x * e^{-k*x}
f ´( x ) = 1 * e^{-kx} + x * e^{-kx} * ( -k)
f ´( x ) = e^{-kx} * ( 1 -kx )
Extrempunkt
e^{-kx}  ist stets > 0
( 1 -kx ) = 0
kx = 1
x = 1/k

f´´ ( x ) = e^{-kx} *(-k) * ( 1 - kx ) + e^{-kx}* (-k)
f ´´ ( x ) = e^{-kx} * ( -k + k^2x - k )
f ´´ ( x ) = e^{-kx} * ( -2k + k^2x )
Wendepunkt
( -2k + k^2x ) = 0
k^2x = 2k
x = 2/k

Nun noch die Funktionswerte ausrechnen.

Answer 2

Ist f'_k(x₀) = 0 und f''_k(x₀) ≠ 0, dann hat f_k bei (x₀, f(x₀)) einen Extrempunkt.

Löse die Gleichung f'_k(x₀) = 0 nach x₀ auf und berechne f''_k(x₀) um die Extremstellen zu finden. Setze die Extremstellen in die Funktion f ein um die y-Koordinate an den Extremstellen zu berechnen.

Ist f''_k(x₀) = 0 und f'''_k(x₀) ≠ 0, dann hat f_k bei (x₀, f(x₀)) einen Wendepunkt.

Löse die Gleichung f''_k(x₀) = 0 nach x₀ auf und berechne f'''_k(x₀) um die Wendestellen zu finden. Setze die Wenestellen in die Funktion f ein um die y-Koordinate an den Wendestellen zu berechnen.