Wahrscheinlichkeiten in einer Reihenschaltung bestimmen?

Question

ich habe ein Verständnisproblem bei folgender Aufgabe:

Eine Reihenschaltung aus drei Glühlämpchen a1, a2, a3 wird von einem Strom durchflossen.

Dabei treten die Ereignisse

Ai : Das i-te Glühlämpchen brennt durch

unabhängig voneinander mit den konstanten Wahrscheinlichkeiten pi = 0,2 für (i = 1; 2; 3) ein. Wie

groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Stromkreisunterbrechung (Ereignis B)?

(Tipp: Bestimmen Sie zunächst P(BC) .)

-> Wieso muss man zuerst die Wahrscheinlichkeit berechnen das es keine Stromkreisunterbrechung gibt?

Ohne den Tipp hätte ich es wie folgt gerechnet:

$$P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=P(0,2)\cdot P(0,2)\cdot (P0,2)=\frac { 1 }{ 125 }$$

Da die Wahrscheinlichkeit 0,2 ist das das ite Glühlämpchen durchbrennt würde ich das einfach multiplizieren!

Aber, wieso stimmt das nicht? Ich hab wohl generell ein Denkfehler drin!

Mit freundlichen Gruß

Answer 1

1 - 0.8³ = 61/125 = 0.488 = 48.8%

Wann gibt es in einer Reihenschaltung eine Unterbrechung des Stromkreises ?

Comments

Du hättest die Wahrscheinlichkeit bestimmt das bei einer parallelschaltung der Stromkreis unterbrochen wird.

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Eine Unterbrechung im Stromkreis gibt es in der Reihenschaltung wenn A1 oder A2 oder A3 ausfällt!

Aber ich verstehe immer noch nicht wieso 1-0,8³ ?

Ich finde es sowieso komisch, ich hab immer Gedacht wenn man eine "oder" Verknüpfung hat, das es sich dann um den Additionssatz handelt...

Sorry, bin gerade etwas verwirrt :(

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Es gibt folgende Möglichkeiten

1. A1 - A2 - A3

2. A1 - A2 - XX

3. A1 - XX - A3

4. A1 - XX - XX

5. XX - A2 - A3

6. XX - A2 - XX

7. XX - XX - A3

8. XX - XX - XX

Ein XX steht dafür das eine Glühlampe durchgebrannt ist

Bestimme für jede der 8 Möglichkeiten oben die Wahrscheinlichkeit. Bilde die Summe aller Wahrscheinlichkeiten. Kommt dort insgesamt 1 heraus ?

Nun Addierst du alle von den 8 Möglichkeiten wo der Stromkreis unterbrochen ist. Auf welchen Wert kommst du?

Warum kann man um diesen Wert zu berechnen auch 1 - 0.8³ rechnen?

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Es gibt folgende Möglichkeiten

1. A1 - A2 - A3 = 0,512

2. A1 - A2 - XX  =  0,128

3. A1 - XX - A3 = 0,128

4. A1 - XX - XX = 0,032

5. XX - A2 - A3 = 0,128

6. XX - A2 - XX = 0,032

7. XX - XX - A3 = 0,032

8. XX - XX - XX = 0,008

Die Summe ist = 1

Unterbrochen bei 2, 3,4,5,6,7,8 = 0,488

Ahh, jetzt hab ich es verstanden...Da nur bei 1 (A1-A2-A3) der Stromkreislauf funktioniert ,kann ich besser die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen weil ich einen geringeren Aufwand hab anstatt alles einzelt...

Vielen Dank :) . Eine Frage habe ich noch und zwar kann man eine Stochastische Unabhängigkeit ohne Berechnung bestimmen..Ich weiß nie ob ich die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren oder addieren muss? Ich hab auch etwas darüber gelesen das bei "oder" Verknüpfung immer Addition ist, kann man das so sagen?

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Das mit "oder" ist so eine Sache. Verknüpft man mehrere Pfade mit ODER dann kann man die Summe dieser Pfade nehmen. (2. Pfadregel)

Der Additionssatz besagt

P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B)

Das heißt man darf Summen nur bilden wenn sich die Ereignisse A und B nicht überschneiden. Ansonsten muss ich die Schnittmenge abziehen.

Am einfachsten ist es die Stochastische Unabhängigkeit mit einer Rechnung zu bestimmen.

Wenn also gilt

P(A und B) = P(A) * P(B)

dann sind die Ereignisse A und B unabhängig.

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Also könnte ich mir am besten bei Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten eine Vierfeldertafel anfertigen... Und an der denn nach P (A und B)= P (A) * P (B) testen...Wäre ja so ziemlich die einfachste Methode oder?

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Ja. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten würde ich auch meist immer die 4-Felder Tafel empfehlen. Ich habe damit auch immer gearbeitet.

Wichtig ist generell immer das man sich den Sachverhalt verdeutlicht. Auch oben mit den Glühbirnen. Wenn man irgendwo nicht durchsteigt einfach mal ein paar Möglichkeiten notieren.

Gerade bei den Hausaufgaben hat man ja viel mehr Zeit als später in der Arbeit. Daher sollte man ruhig schon bei den Hausaufgaben experimentieren.

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Alles klar vielen vielen Dank nochmal für deine Hilfe  :)