Sei f: R → R eine stetige Funktion. Zeige f ist injektiv ist äquivalent zu f ist streng monoton.

Question

Einen wunderschönen,

ich suche Hilfe bei folgenden Teilaufgaben.

Sei f: R → R eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1.) f ist injektiv

2.) f ist streng monoton wachsend oder fallend

Vielen Dank für jegliche Mühe.

Comments

Hinweis: Zwischenwertsatz.

Answer 1

von 2 nach 1 ist einfach:

ist etwa f streng mon. wachsend.  Sind nun a,b aus R mit a ≠ b .

Dann ist entweder  a < b  und wegen der Monotonie also f(a) < f(b)

also f(a) ≠ f(b)   oder

a > b  und wegen der Monotonie also f(a) > f(b)
also f(a) ≠ f(b) .

Bei streng. mon, fallend entsprechend. 

beim Beweis von 1 nach 2 kommt dann die Stetigkeit ins Spiel.
Grundidee wäre: wenn es injektiv ist und links von einer Stelle wachsend und
rechts fallend,, dann müsste es links und rechts von der Stelle zwei Stellen
mit gleichen Funktioonswerten geben, argumentiert mit
Zwischenwertsatz.
Das müsste man noch etwas präziser formulieren.