Gleichmäßige Stetigkeit von 3te Wurzel x

Question

Kann mir einer sagen warum

f(x) = ³√x gleichmäßig stetig ist (Epsilon-Delta)?

Comments

Epsilon-Delta ist mir zu kompliziert. In den meisten Buechern ist aber der entsprechende Beweis für die Quadratwurzel drin. Schlag ihn nach und adaptiere ihn, wenn es denn unbedingt sein muss.

Answer 1

Leite zuerst $$|x-\xi|^{2/3}\le(x+\xi)^{2/3}\le x^{2/3}+\xi^{2/3}$$ her. Benutze das dann: $$|\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\xi}|=\frac{|x-\xi|}{x^{2/3}+x^{1/3}\xi^{1/3}+\xi^{2/3}}\le\sqrt[3]{|x-\xi|}.$$ Man kann also unabhaengig von \(\xi\) stets \(\delta=\epsilon^3\) waehlen.