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Untersuchen Sie die folgenden Funktionen f : D → ℝ auf gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit.


(i) D = (0,∞),  f(x) := √x
(ii) D = ℝ,  f(x) := 1/(1+x^2)
(iii) D = (0,∞),  f(x) := log(x)

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Hi,
hier mal Ansätze:
a) Die Funktion ist nicht Lipschitz-stetig:
Wenn die Funktion Lipschitz-stetig wäre, müsste
$$\vert \sqrt{x}-\sqrt{y}\vert= \frac{\vert x-y \vert}{\vert \sqrt{x}+\sqrt{y}\vert} < L \cdot \vert x-y\vert$$
für eine Konstante L gelten, welche unabhängig von x und y ist. Wieso geht das in unserem Fall nicht?

Die Funktion ist gleichmäßig stetig:
Wir müssen aus \(\vert x-y \vert < \delta_{\epsilon}\) folgern, dass \(\vert \sqrt{x}-\sqrt{y} \vert < \epsilon\) gilt.
Sei \(x \ge y\). Somit müssen wir aus \(x < y + \delta_{\epsilon}\) folgern, dass  \( \sqrt{x}  <  \sqrt{y} + \epsilon\) gilt.
Wähle \( \delta_{\epsilon} = \epsilon^2\). Tipp: Schätze \(y + \delta_{\epsilon}\) nach oben ab und nutze die 1. binomische Formel

b) Die Funktion ist Lipschitz-stetig
Es gilt: Eine differenzierbare Funktion \(f: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ist genau dann eine q-Kontraktion (d.h. Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante q<1) falls \( \vert f'(x) \vert <q \) für ein \(q<1\).
Damit kannst du die Lipschitz-stetig auf \(\mathbb{R} \backslash \{0\}\) zeigen. 0 musst du noch mal extra betrachten und mit Hilfe der Definition der Lipschitz-stetigkeit zeigen, dass die Funktion Lipschitz-stetig in 0 ist.

Da die Funktion Lipschitz-stetig ist, ist sie somit auch gleichmäßig stetig. Falls ihr das noch nicht hattet, kannst du dir das schnell überlegen.

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