Pflanzenwachstum Exponentialfunktion

Question

Es wird das Wachstum einer Pflanze beobachtet und durch eine Funktion h₁ mit h₁(t) = 0,05 * e^0,3t 

beschrieben, wobei h₁ die Höhe der Pflanze in Metern und t die Zeit in Wochen bedeuten. Ein Forscher berechnet mit der Funktion die Höhe der Pflanze nach 8 Wochen (Höhe: 0,55 m) und 13 Wochen (Höhe: 2,47 m) Tatsächlich ist die Pflanze nach 13 Wochen jedoch nur 2,06 m hoch. Die Höhe wird deshalb für t ≥ 8 durch eine Funktion h₂ mit h₂(t) = a - b * e^-0,3t beschrieben. 

1) Das Zimmer, in welchem die Pflanze steht, ist 2,70 m hoch. Untersuchen Sie, ob die Pflanze nach 20 Wochen gemäß h2 noch in das Zimmer passt und ob sie irgendwann einmal an die Zimmerdecke stößt.

2) Berechnen Sie h₁' (8) und h₂ ' (8). Vergleichen Sie beide Werte. Entscheiden Sie begründet, ob die Modellierung zum Zeitpunkt t = 8 realistisch ist.  

Answer 1

a)  Tatsächlich ist die Pflanze nach 13 Wochen 2,06m hochm Die Höhe wird deshalb für t>= 8 durch eine funktion h2 mit h2 (t)= a-b*e^-0.3t beschrieben. Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 8 und nach 13 Wochen. (KONTROLLE a=2,5 b=21,4)

h(8)=  0,55                         h(13)= 2,06

a-b*e^-0.3*8 = 0,55                a-b*e^-0.3*13 = 2,06

a = b*e^-0.3*8 + 0,55   in die zweite eingesetzt

b*e^-0.3*8 + 0,55  -b*e^-0.3*13 = 2,06

b*0,0907 - b * 0,0202 = 1,51

0,0705 * b = 1,51

b = 21,4   und bei rot eingesetzt   gibt es a= 2,5

b) Grenzwert für t gegen unendlich ist 2,5; denn  bei 2,5 - 21,4 *e^-0.3t

hat  der Term hinter dem Minus für t gegen unendlich den Grenzwert 0.

Also erreicht die Pflanze die Zimmerdecke nicht. Oder so :

2,5 - 21,4 *e^-0.3t   = 2,7

- 21,4 *e^-0.3t   = 0,2

e^-0.3t   =-0,016

aber e hoch irgendwas ist immer positiv, also keine Lösung.

c)

h1'(t)=0,015*e ^0,3t    h1 ' (8) =   0,1653

h2'(t)= -0,3*( - b)*e ^-0,3t     = 0,5824

Das wäre bei t=8 eine plötzliche Änderung der Wachstumsgeschwindigkeit,

klingt unrealistisch.