Größe von n, für bestimmte Abweichung von unbekannter Wahrscheinlichkeit

Question

Ich habe die folgenden Werte "gegeben":

p - unbekannte Heilungswahrscheinlichkeit eines Medikaments n - Anzahl der Testpatienten X_i - Indikatorvariable => Heilung tritt bei i-tem Patienten ein
Es wird davon ausgegangen, dass bei den Patienten die Heilung unabhängig voneinander mit einer W. von p eintritt.

Frage 1: 
Für welches p∈[0, 1] wird Var(X_i) maximal?

Frage 2: Wie groß muss n sein, damit die relative Häufigkeit der geheilten Patienten mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 Werte annimmt, die von der unbekannten Heilungswahrscheinlichkeit p um weniger als 0.025 abweichen? ==> Nutze die Tschebychev-Ungleichung und die Abschätzung aus Frage 1
Kann mir jemand hierfür bitte einen Ansatz geben, ich stehe voll auf dem Schlauch..

Danke schonmal

Comments

Okay, die Frage 1 habe ich schonmal:

Var(Xi)=p(1-p)

Var(Xi)'=(p(1-p))'=1-2p
Var(Xi)''=(-(p-1)p)'=-2

$$1-2p=0\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$$

Und da Var(Xi)'' negativ ist, muss dort ein Maximum sein.

==> Var(Xi) wird für p=1/2 maximal

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Müsste man nicht mit np(1-p) rechnen?

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 Wieso hast du das n vergessen muss man n nicht mit einbindenDie Formel fü die Varianzen lautet doch np*(1-p)

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Kann niemand erklären wieso das n weg gelassen wurde oder darf man es nicht weglassen in der Formel der varianz bitte um hilfe

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Weil es um die Indikatorvariable geht ist da kein n drin ;-)

Habe einfach nach Varianz der Indikatorfunktion gegooglet :D

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Da es um die Varianz der Indikatorvariablen geht, kann ist das n unwichtig, da es hierbei ja um den "Erfolg im i-ten Versuch" geht, der von der Gesamtzahl der Versuche unabhängig ist.
Auch zu finden bei Wikipedia, wenn man nach der Indikatorfunktion googlet.

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Kann jemand bei der Frage 2 helfen ?

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Hi, 
soviel habe ich noch dazu:
$$S=X_{1}+...+X_{n}$$ ist die Summe der Indikatorvariablen und gibt die zufällige Anzahl der geheilten Patienten an.
Sie ist binomialverteilt $$B_{n,p}$$.
Die relative Häufigkeit ist dann $$X=\frac{S}{n}$$, worauf man dann Tschebychev anwenden muss.
BZw. betrachtet man eher die Komplementärvariante
$$P(|X-E(X)|< \epsilon ) \geq 1- \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$$
Dabei ist  $$\epsilon = 0.025$$ und Var(X) kann man gemäß Lösung aus a) abschätzen.