Aufgabe 44
Seien a, b ∈ R und a < b. Bilde jedes Glied der Funktionenfolge (un)n∈N das Intervall [a, b] nach [0, ∞) ab und sei stetig. Wir definieren für n ∈ N die Funktion fn : [a, b] → [0, ∞); x 7→ Xn k=1 uk(x). Zeigen Sie, dass wenn die Funktionenfolge (fn)n∈N punktweise gegen eine stetige Funktion f : [a, b] → [0, ∞) konvergiert, dann konvergiert (fn)n∈N gleichmäßig gegen f.
Hinweis: Betrachten Sie die Funktionenfolge (gn)n∈N mit gn := f − fn für n ∈ N und führen Sie einen indirekten Beweis.
