Übergangsmatrix bestimmen

Question

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

Man bestimme die Übergangsmatrix von B₁ zur Basis B₂ und umgekehrt.

B₁=((-2,5,3).(-3,2,1),(-4,0,1))     B₂=((-3,0,3),(-4,2,-1),(-5,2,-1)

Folgendes habe ich in meinen Unterlagen gefunden:

"Die Übergangsmatrix der Basis B₁₌₍vektor a₁, vektor a₂) zur Basis über B₂=(vektor b₁, vektor b₂) ist gegeben durch:

U₁=(vektor a₁, vektor a₂)^-1 * (vektor b₁, vektor b₂) 

und von der Basis B₂=(vektor b₁, vektor b₂) zur Basis über B₁=(vektor a₁, vektor a₂) ist U^-1."

Ich verstehe nicht was ich machen soll, da ich 3 Vektoren gegeben habe und im Satz ist die Rede von 2 Vektoren. Kann mir einer bitte helfen?

Answer 1

wenn ein Vektor v in der Basis B1 dargestellt wird mit den Koordinaten x1,x2,x3

gilt ja    v = A * x   und dabei ist die Matrix, die in den Spalten die drei Vektoren von B1 hat

entsprechend mit B2

  v = M * y   und in M stehen als Spalten die Vektoren von B2 und y besteht aus  y1,y2,y3 also

den Koordinaten bezüglich B2.

dann ist      A * x    =    M * y  

und die Matrix, die x in y überführt ist    M^-1 * A, weil

                  M^-1 * A * x = y

also hier

11/6    2/3     1/3
16       4        -3
-27/2   -3       3

und für die andere Richtung die inverse davon

6/5   -6/5     -4/3
-3       4       13/3
12/5   -7/5    -4/3