Ein Würfel wird 20 mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird genau 8 mal eine Sechs geworfen wird

Question

a) Ein idealer Würfel wird 20 mal geworfen. Welche der Terme geben die Wahrscheinlichkeit an, dass genau 8 - mal eine Sechs geworfen wird (Begründung verlangt)

  \( \frac{1}{6}^{8} \cdot \frac{5^{12}}{6} \)

\( \left(\begin{array}{c}{20} \\ {8}\end{array}\right) \cdot \frac{1}{6}^{8} \cdot \frac{5^{12}}{6} \)

\( \left(\begin{array}{c}{20} \\ {12}\end{array}\right) \cdot \frac{5^{12}}{6} \cdot \frac{1^{8}}{6} \)

b) Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn bei einer Drehung 10%.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 10 Drehungen des Rades genau einen Hauptgewinn erzielt. Formuliere dazu den exakten Ansatz der Binomialverteilung.

2. Dass man bei 10 Drehungen des Rades mindestens zwei Hauptgewinne erhält.

3. Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, damit mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit (mindestens) zwei oder mehr Hauptgewinne erzielt werden?

Answer 1

die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Versuchen mit  der Trefferwahrscheinlichkeit p ist

P(T=k)  =   \( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) • p^k • (1-p)^n-k 

a)

 also ist die mittlere Formel richtig

b)  

p = 0,1 , n = 10

P(T≥2) = 1 - P(T=0) - P(T=1)

= 1 - \( \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}\) • 0,1⁰ • 0,9¹⁰ -  \( \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}\) • 0,1¹ • 0,9⁹ ≈ 0,2639

c)

P(T≥2) ≥ 0,8

1 - \( \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}\) • 0,1⁰ • 0,9ⁿ -  \( \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}\) • 0,1¹ • 0,9^n-1 ≥ 0,8

\( \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}\) • 0,1⁰ • 0,9ⁿ +  \( \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}\) • 0,1¹ • 0,9^n-1 ≤ 0,2

0,9ⁿ + n • 0,1 • 0,9^n-1 ≤ 0,2

hier kann man n nur durch Probieren von Einsetzungen finden: n ≥ 29

Gruß Wolfgang