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Aufgabe:

Ein Würfel wird n mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Einsen und 3 Sechsen gewürfelt werden


Problem/Ansatz:

Es ist eine Binomialverteilung. Ich kann die Binomialverteilung für beide Voraussetzungen anwenden, allerdings nicht für beide zusammen. Also zB: P("2 Einsen") und P("3 Sechsen") ist kein Problem, aber P("2 Einsen", "3 Sechsen") schon.

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Aloha :)

$$p=\binom{n}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\binom{n-2}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{4}{6}\right)^{n-5}$$

Zur Erklärung: Für die zwei Einsen müssen wir von den \(n\) Würfen zwei reservieren. Dafür gibt es \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten. Von den verbliebenen \((n-2)\) Würfen müssen wir drei für die Sechsen reservieren. Dafür gibt es \(\binom{n-2}{3}\) Möglichkeiten. Alle anderen Würfe dürfen keine Eins und keine Sechs sein, daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{6}\) für die übrigen \((n-5)\) Würfe.

Den Ausdruck kann man noch weiter ausrechnen:

$$p=\frac{n}{2}\,\frac{n-1}{1}\,\frac{1}{6^2}\,\frac{n-2}{3}\,\frac{n-3}{2}\,\frac{n-4}{1}\,\frac{1}{6^3}\,\frac{4^{n-5}}{6^{n-5}}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{12}\frac{4^{n-5}}{6^n}$$$$\phantom{p}=\frac{n!}{(n-5)!}\,\frac{1}{12}\,\frac{1}{4^5}\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{1}{12\,288}\frac{n!}{(n-5)!}\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

von 79 k 🚀

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