Taylorpolynom dritten Grades von f(x)=1/(2x), Entwicklungspunkt und Fehler schätzen

Question

Berechnen Sie das Taylorpolynom $T_{3, f}$ dritten Grades zur Funktion

$f(x)=\frac{1}{2 x}$

um den Entwicklungspunkt $x_{0}=1$. Schätzen Sie den Fehler betragsmäßig nach oben ab, der bei Ersetzung von $f$ durch $T_{3, f}$ an der Stelle $x$ für $|x-1|<\frac{1}{2}$ entsteht.

Answer 1

f(x) = 1/2  *  1/x 

f ' (x) = 1/2 *  -1/x²

f ''(x) = 1/2 * 2/x³

f ' ' ' (x) = -6/x⁴

also T_3,f(x)  = f(1) + f ' (1) * ( x-1) + ...

 = 1/2   -1/2 * ( x-1)  +  1/2! * ( x-1) ² - 6 / 3! * ( x-1) ³

=  1/2   -1/2 * ( x-1)  +  1/2 *  ( x-1) ² -  ( x-1) ³

und Fehlerabschätzung mit

f ⁽⁴⁾ (z) / 4 ! * ( x-1)⁴

= 24/ ( z⁵ * 4! ) * ( x-1)⁴    wegen   differenz < 1/2

<    24/ ( z⁵ * 4! ) * 1/16          z< 3/2 gibt z⁵ < 243/32

<    24/ ( 4!*243/32 ) * 1/16 

= ...

Comments

die dritte Ableitung stimmt nicht ganz. Es sind 1/2*(-6)/x⁴= -3/x⁴