Aufgabe zu endlich-dimensionalem Vektorraum und kanonischer projektion

Question

Wie sind diese Aufgaben zu lösen ?

Comments

Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaer K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum. Weiter bezeichne P: V → V/U die kanonische Projektion. Zeigen Sie:

p* : (V/U)^* → V^* ist injektiv

---

Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaer K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum. Weiter bezeichne P: V → V/U die kanonische Projektion. Zeigen Sie:
Bild(p*) = { λ ∈ V^* | λ |_U = 0 }

---

Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaer K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum. Weiter bezeichne P: V → V/U die kanonische Projektion. Zeigen Sie: 

V^* / Bild(p*) ≅ U^*

wobei   p*: (V/U)^* → V^* injektiv und Bild(p*) = {λ ∈ V^* | λ |_U = 0}

---

wobei   p*: (V/U)^* → V^* injektiv

---

:)

Ich muss die folgende Aufgabe lösen, komme leider nicht so weit :



Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum.

Weiter bezeichne p : V → V/U die kanonische Projektion. Ich muss zeigen, dass :

(a) p*∶ (V/U)* → V* ist injektiv.

Ist das etwa nicht eine Umkehrfunktion ? Vom Faktorraum aller Äquivalenzklassen nach V ? So macht es schon Sinn, dass die Abbildung injektiv ist. Das ist jetzt aber eine duale Abbildung, und da weiß nicht mehr wie es geht...

(b) Bild(p*) = {λ ∈ V*∣ λ|U = 0}.

was heißt diese λ|U ?! Also der Bild der Funktion sind die Elemente von (V/U), die nicht auf 0 abgebildet sind ?

(c) V*/ Bild(p*) ≅ U*.

erstmal, ich verstehe noch nicht was der ( / ) ist. Was macht das, wenn es zwischen zwei Vektorräume steht ? Dann muss ich noch zeigen, dass die linke Seite und rechte Seite isomorph sind...



ein paar Grundlagen fehlen bei mir schon.... Ich lese jetzt weiter über den Dualraum und schreibe in den Kommentaren, falls ich weiterkomme. Ich wäre trotzdem sehr dankbar für Hilfe. Es macht keinen Spaß, unter Stress zu lernen :(

---

habe gerade die Frage auf Mathelounge doch gefunden!

---

Könntest du die Frage bitte verlinken?

Ich konnte leider nichts hilfreiches finden.

---

Vielleicht: https://www.mathelounge.de/310394/endlich-dimensionalem-vektorraum-kanonischer-projektion

?

---

Wo steht denn die Lösung in der .pdf Datei?

Da wird das doch nur für V/U bewiesen.

Answer 1

hilfreich ist vielleicht

http://www2.math.uni-wuppertal.de/~herbort/LA2/LA2_2.pdf

Comments

warum ist die lineare Abbildung von p irgendwie umgekehrt ?! Soll es nicht p* : V* -> (V/U)* sein?? 

eine Frage noch : Was heisst λ|_U = 0 ? 

noch eine : was heisst der ( / ) zwischen p* und Bild(p*) ?

---

Bin gerade am gleichen ÜB.

Das erste ist einfach eine neue Funktion p*, die dann die umgekehrte Abbildung von p darstellt. p ist eine kanonische Projektion und du sollst zeigen, dass diese neue Funktion p* injektiv ist.

Das λ|_U kannst du im Skript unter 1.3.11 nachlesen.

Der Schrägstrich bedeutet Modulo, das findest du unter dem Thema Faktorraum.

---

Danke dir :) 

jetzt verstehe ich die a)

zu b)
wir muessen zeigen dass das Bild dieser duale Abbildung besteht aus die Linearformen aus V*, die alle Vektoren in U auf den Nullvektor bilden ? Verstehe ich das richtig ?


zu c)
ich kenne natuerlich schon die Faktorraueme und das Modulo (mit drei Strichen ueber einander). Aber wie sollte ich das hier in diesem Zusammenhang verstehen ?


 

---

Kannst du dein Lösung hier posten?