"Wenn die Reihe Σn an konvergent ist, dann konvergiert auch die Reihe Σn an* (-1)^n .

Question

Aussage richtig/falsch mit Begründung:

"Wenn die Reihe Σn an konvergent ist, dann konvergiert auch die Reihe Σn an* (-1)^n ."

Ich würde sagen diese Aussage ist richtig - die Reihe Σn an* (-1)^n ist zwar alternierend aber mit Sicherheit konvergent. ... oder lieg ich da falsch ?

Bitte um eine ausreichende Antwort mit Begründung.

Danke !!!

Comments

$$a_n=(-1)^n\cdot\frac1n.$$

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ok jetzt komm ich mir relativ blöd vor ... viel zu kompliziert gedacht ...

aber danke !!!

Answer 1

Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel unter den ueblichen Verdaechtigen.

Comments

ein bisschen genauer wäre schon nett ... welche Funktion ist hier das Gegenbeispiel ?

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Funktion? Ich dachte, hier geht es um Reihen. Wie viele Reihen mit Namen kennst Du?

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sry verschrieben ...  mir fällt kein Gegenbeispiel ein bei dem sich durch multiplikation von (-1)^n etwas ändert.

bitte hilf mir doch einfach weiter xD

Answer 2

  Es geht hier gar nicht um alternierende Reihen. Die Aussage ist viel zu speziell. Du könntest eben so gut komplexwertige Reihen betrachten.
 Eine Reihe die absolut konvergiert, konvergiert auch. Zwei Begründungen.

  1) eine ABSOLUT konvergente Reihe konvergiert auch unbedingt ===> Sie selber konvergiert.
  2)  Nach dem Majorantenkriterium stellt die absolut konvergente Reihe eine Majorante dar.

    Hier ich hätt auch mal eine Frage an die Community. Richtig geniale Zeitgenossen so wie ich stechen ja nicht so sehr durch ihre Beweise hervor, sondern durch ihre unbewiesenen Vermutungen. Es geht darum, dass unbedingte Konvergenz ja nur Permutationen betrifft; stets wird die Reihe aufgefasst als Folge ihrer Teilsummen. Kann man so etwas machen? Ich gehe aus von der Reihe

       (E-1)  +  (E-2)  +  (E-3)  +  ( E-4  )  . . .  =  1/9         (  1  )

    Und jetzt ordne ich um:

       (E-1)  +  (E-3)  +  (E-5) + . . .  (unendlich viele Terme )  +  (E-2)  +  (E-4)  +  (E-6)  +  . . .  =  1/9    (  2  )

     Das wäre jetzt aber eine völlig neue ===> Ordinalzahl; eine Reihe der Länge w * 2 . Ist so ein Grenzwert noch Sinn voll?