Extremwertaufgabe Rechteck, neues Rechteck mit max. Flächeninhalt

Question

Halloich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:Von einer rechteckigen Mamorplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus der Restplatte soll wieder eine neue recheckige Platte herausgeschnitten werden. Wie lang müssen die Seiten des neuen Rechtecks sein, so dass dass das neue Rechteck maximal groß ist?

Answer 1

Zunächst muß die Funktionsgleichung der Trennllinie
berechnet werden.

Answer 2

    F  (  x  ;  y  )  :=  (  120  +  x  )  (  100 -  y  )  =  max    (  1  )

          y  /  x  =  2/3     (  2a  )

      G  (  x  ;  y  )  :=  3  y  -  2  x  =  0     (  2b  )




     Zum Einsatz kommt Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino. Den Lagrangeparameter von ( 2b ) nenne ich k; demnach haben wir die Linearkombination zu bilden



       H  (  x  ;  y  )  :=   F  (  x  ;  y  ) +  k  G  (  x  ;  y  )      (  3a  )



    Notwendige Bedingung für Maximum: Der Gradient von H verschwindet.



    H_x  = 100  -  y  -  2  k  =  0   |  *  3     (  3b  )

    H_y  =  -  (  120  +  x  )  +  3  k  =  0   |  *  2     (  3c  )



    Der Dummy k wird  durch das Additionsverfahren ( 3b ) + ( 3c ) entfernt; wie üblich habe ich die entsprechenden Umformungen vermerkt.



     2  x  +  3  y  =  60     (  4  )




   einsetzverfahren;  Aus ( 2b ) gewinnen wir 2 x = 3 y  ===>  y = 10 in ( 4a ) und Rücksubstitution von y in ( 2b ) ===>  x = 15. Der Punkt liegt genau auf der Hälfte.