Beweise zur Projektion eines Vektorraumes

Question

Sei \( p \) eine Projektion eines Vektorraums V, d.h. \( p \in \operatorname{End}(V) \) mit \( p^{2}=p \), wobei \( p^{2}:=p \circ p . \)

Zeigen Sie:

(a) \( p(\operatorname{im} p)=\mathrm{im} p \)
(b) im \( p=\{v \in V \mid v=p(v)\} \)
(c) Für alle \( v \in V \) gilt: \( v-p(v) \in \operatorname{ker} p \).
(d) \( V=\operatorname{ker} p \oplus \operatorname{im} p \)
(e) Ist \( v=u+w \) mit \( u \in \operatorname{im} p, w \in \operatorname{ker} p \), so folgt \( p(v)=u \).
(f) ker \( p=\mathrm{im}(i d-p) \). Hier ist die Abbildung id definiert als \( x \mapsto x \).
(g) id \( -p \) ist ebenfalls eine Projektion von \( V \).

Ansatz/Problem:

a) ich weiss, wie man die Gleichheit zweier Mengen oft zeigt: Man zeigt, dass jede Menge Teilmenge der jeweils anderen ist. aber wie macht man das in diesem Fall?

b) man könnte vielleicht zeigen, dass p auf im(p) die identische Abildung ist? also zeige, dass (mithilfe der gegebenen Gleichung p^2 = p) für alle v in im(p)  gilt: p(v) = v.

ich weiss nicht, wie man das alles formal richtig aufschreibt. und, ob das überhaupt stimmt. wäre sehr glücklich über weitere Antworten.

Answer 1

Hi,

ist doch schonmal gut, dass du den Ansatz kennst. Wenn es nur am formalen Aufschreiben hängt, dann schau dir immer sehr gut alle Definitionen an. Die Notation, die du dort findest, übernimmst du ja auch später.

a) ist relativ kurz wenn man es nur als Notationsfrage sieht: \( p(V) := \text{im } p\). Dann:

$$ p(p(V)) = p \circ p(V) = p(V) $$

Wenn du es über Mengengleichheit zeigen willst so zum Beispiel: \(p(\text{im }p) \subseteq \text{im }p\) sollte klar sein. Auf der anderen Seite, sei \( v \in \text{im } p\), d.h. \(\exists z \in V \) mit \(p(z) = v\). Da aber \(p(v) = p(p(z)) =p(z) = v \) ist gilt also auch \( v \in p(\text{im } p)\) und somit \(\text{im } p \subseteq p(\text{im }p)\).

Nach dem ganzen rumgepimpe solltest du versuchen b) aus a) zu folgern.

Gruß