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$$ Es\quad sei\quad K\quad ein\quad Körper\quad und\quad V\quad ein\quad K-Vektorraum.\quad f∈{ End }_{ K }(V)\quad heisst\quad Projektion,\quad falls\quad gilt\quad f\circ f=f. $$

1:

$$ Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad \pi :{ ℝ }^{ 2 }\longrightarrow { ℝ }^{ 2 },(x,y)\longrightarrow \frac { 1 }{ 2 } (x+y,x+y)\quad eine\quad Projektion\quad ist\quad und\quad bestimmen\quad Sie\quad Bild\quad und\quad Kern\quad von\quad \pi . $$

 

2:

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a)

f ist eine Projektion.

b)

idV - f ist eine Projektion.

c)

Bild(idV - f) = Kern(f).

d)

Kern(idV - f) = Bild(f).

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das Bild der Abbilung \( \pi \) ist die Menge \( \{ (x, y) : x = y \} \) und der Kern besteht aus der Menge \( \{ (x, y) : x = -y \} \).

\( \pi \) ist trivialerweise (definitionsbezogen) eine Projektion, da gilt

\( \pi(\pi(x, y)) = \frac{1}{4} (2x + 2y, 2x + 2y) = \pi(x, y) \).

Zu 2.:

Aus a) folgt b) und aus b) folgt a) weil

\( (id_V - f) \circ (id_V - f) = id_V^2 - 2 f + f^2 = id_V - 2 f + f = id_V - f \).

Aus a) folgt c) und aus c) folgt a), weil

\( f \circ (id_V - f) = f - f^2 = f - f = 0 \).

Aus a) folgt d) und aus d) folgt a), weil

\( (id_V - f) \circ f = f - f^2 = f - f = 0 \).

MfG

Mister

PS: Für die Rückrichtungen kann man unter Umständen auch noch ein bisschen genauer argumentieren. Zum Beispiel folgt aus b) a), weil aus

\( (id_V - f) \circ (id_V - f) = id_V^2 - 2 f + f^2 = id_V - 2f + f^2 = id_V - f \)

folgt, dass

\( 0 -f + f^2 = 0 - 0 \),

bzw. dass

\( f = f^2 \)

ist, was ja der gegebenen Definitionsgleichung für eine Projektion entspricht (womit die Rückrichtung bewiesen ist).
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Bitte, ich hoffe, du verstehst es auch :)
Sicher, dass das Bild der Abbildung \(\pi\) der ganze \(\mathbb R^2\) ist?
Jo, man kann es gut verstehen :), nur bei der 1 verstehe ich nicht ganz wie man auf das Bild der Abbildung und auf den Kern kommt. Muss man nur umformen was in der Klammer steht?
Du suchst nach dem Kern durch die Forderung \( \pi(x, y) = (0, 0) \). Daraus folgt \( x = -y \).

Nach dem Bild suchst du, in dem du gedanklich alle Werte von \( x \) und \( y \) durchgehst. Das Bild besteht aus der Menge \( \{ \frac{1}{2} (x+y, x+y) \} \). Für alle \( x \) und \( y \) sind im Bild \( x \)-Koordinate und \( y \)-Koordinate identisch. Somit muss das Bild aus der Diagonalen \( (z, z) \) bestehen, bzw. der Menge \( \{ (x, y) : x = y \} \).
Ach so. OK :),   Jetzt ist es mir klar.

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