Berechen Sie <f,g> für alle möglichen Paae

Question

Sei $$X:=C([-\pi ,\pi ],ℂ):={f:[-\pi ,\pi] →ℂ| f stetig}$$ der ℂ-Vektorraum der stetigen Funktion von $$[-\pi ,\pi]$$nach ℂ. Dann definiert

$$<f|g>:=\frac { 1 }{ 2\pi  } \bar { f } (t)g(t)dt$$

ein Skalarprodukt auf $$X$$.

Berechnen sie $$<f|g>$$ für alle möglichen Paare von $$f,g∈{1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t}$$

Hinweis: Sie können die Symmetrien des Skalarproduktes sowie der trigonometrischen Funktionen ausnutzen.

Comments

Warum soll das in C sein?

Könntest du es selbst ausrechnen, wenn alles reell wäre?

Deine Funktionen sind im Intervall [-π,π] alle reellwertig.

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 so lautete nun mal die Aufgabenstellung.

Und wie kann ich das verstehen,  dass sie alle reelwertig sind?

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Dann ist f^{quer} = f .

und du rechnest die Integrale einfach aus.

Also

Int (1*sin(t)) dt

Int ( 1*cos(2t)) dt

Int ( sin(t)* cos(2t)) dt

usw.

Aus Symmetriegründen sollte da ziemlich alles 0 geben.

2. Teil:

und dann wohl auch noch die Fälle, wo beide gleich sind.

Int (1*1) dt

Int (sin(t) * sin(t) ) dt

usw. Die geben aber nicht 0.

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 ich habe es mit dem komplexen Argument von sinus usw  gemacht also
Sint =
Sinxcoshy+ Icosxsinhy

Ist das falsch?

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Keine Ahnung. [-π,π] sieht für mich wie ein reelles Intervall aus.

Na, Hauptsache du hast da inzwischen etwas gemacht.