es ist allgemein
\( l(\vartheta) = \sum_{i=1}^{n} \log(f_\vartheta(x_i)) \ \ \ \ \ (1) \)
die Log-Likelihood-Funktion und
\( \frac{\partial l}{\partial \vartheta} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\frac{\partial}{\partial \vartheta} f_\vartheta(x_i)}{f_\vartheta(x_i)} \ \ \ \ \ (2) \)
ihre erste Ableitung. Man muss allerdings die Fälle \( f_\vartheta(x_i) = 0 \) diskutieren.
Sei für Aufgabe a) dafür
\( L(\vartheta) = \prod_{i=1}^{n}\limits f_{\vartheta}(x_i) = \prod_{i=1}^{n}\limits 1_{[0, \infty)}(x_i) \prod_{i=1}^{n}\limits \vartheta e^{- \vartheta x_i} \)
die Likelihood-Funktion. Gibt es ein \( x_i < 0 \), so ist \( L(\vartheta) = 0 \) für alle \( \vartheta \). Das Maximum von \( L \) ist somit nicht eindeutig und wird für alle \( \vartheta \) angenommen.
Man kann also annehmen, dass \( x_i \geq 0 \) für alle \( x_i \) gilt. Dann ist (1) wohl definiert und man kann die Ableitung (2) bilden:
\( \frac{\partial l}{\partial \vartheta} = \sum_{i=1}^{n}\limits \frac{\frac{\partial}{\partial \vartheta} f_\vartheta(x_i)}{f_\vartheta(x_i)} \)
\( = \sum_{i=1}^{n}\limits \frac{e^{-\vartheta x_i} - x_i \vartheta e^{-\vartheta x_i}}{\vartheta e^{-\vartheta x_i}} \)
\( = \sum_{i=1}^{n}\limits \frac{1}{\vartheta} - x_i \stackrel{!}{=} 0 \).
Es folgt
\( \vartheta = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{\bar{x}} \).
Für Aufgabe b) sei
\( L(\vartheta) = \prod_{i=1}^{n}\limits f_\vartheta(x_i) = \prod_{i=1}^{n}\limits 1_{[\vartheta, \infty)}(x_i) \prod_{i=1}^{n}\limits e^{-(x_i - \vartheta)} \ \ \ \ \ (3) \)
die Likelihood-Funktion. Gibt es nun ein \( x_i < \vartheta \), so ist \( L(\vartheta) = 0 \) für alle \( \vartheta \) und es lässt sich kein eindeutiger Schätzer ermitteln. Es muss also \( \vartheta \leq x_i \) für alle \( x_i \) angenommen werden beziehungsweise \( \vartheta \leq \min_{i}\limits\{ x_i \} \).
Die Ableitung (2) würde zu dem Ergebnis \( \frac{\partial l}{\partial \vartheta} = n \) führen, das unabhängig von \( \vartheta \) immer ungleich \( 0 \) ist.
Für jede Einzelfunktion \( e^{-(x_i - \vartheta)} 1_{[\vartheta, \infty)}(x_i) \) im Produkt (3) liegt das Maximum bei \( \vartheta = x_i \). \( L(\vartheta) \) muss sein Maximum folglich zwischen dem größten und kleinsten dieser \( x_i \) annehmen, man kann insbesondere schreiben \( \vartheta \geq \min_{i}\limits x_i \).
Zusammen mit \( \vartheta \leq \min_{i}\limits x_i \) ergibt sich \( \vartheta = \min_{i}\limits x_i \).
Mister
