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Hallo Community,

folgende Aufgabe:
Seien a ≥ 0 und b ≥ 0. Beweisen Sie, dass die Folge der Zahlen

(n√a + n√b)n


mit n aus den natürlichen Zahlen, n ≥1 genau dann konvergiert, wenn a = 0 oder b=0 gilt


Ich hab versucht über die Definition von Monotonie und Beschränktheit die Konvergenz zu zeigen, bin aber daran gescheitert dass Sie monoton wachsend aber unbeschränkt ist.



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Fuer den Divergenzteil: Schreibe so um, dass Du die Bernoulli-Ungl. verwenden kannst.

2 Antworten

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diese Äquivalenz kannst du in 2 kurzen Schritten zeigen:

1) Zeige, dass die Folge konvergiert falls gilt: \(a = 0 \vee b = 0\).

2) Zeige, dass die Folge divergiert falls gilt: \( a \neq 0 \wedge b \neq 0 \). (Dafür den Tipp aus dem Kommentar verwenden.

Gruß

Avatar von 23 k

Danke für die Tipps. Wäre das so in Ordnung?Bild Mathematik

Schwer lesbar bei vergrößerung. Sehe aber so schon mehrere Fehler auf die du dann sicherlich im entsprechenden Forum auch hingewiesrn wirst.

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   Ist doch eigentlich easy. Wenn b = 0 , hast du a = const. Jetzt seien a > 0 ; b > 0




     a  <  n  >  =  a  [  1  +  +  ( b / a )  ^ 1 / n  ]  ^ n      (  1  )



   Mit n ===> ( °° ) geht die runde Klammer gegen Eins. Und zwar f´ür a < b von Oben und füe b < a von Unten. In dem Sonderfall a =  b ist die runde Klammer konstant Eins. Damit geht aber die eckige Klammer indgesamt gegen 2 ; und mit n ===> ( °° )fliegt dir diese e-Funktion um die Ohren.
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