Rechnungen rund um Ebenen?

Question

Für eine Computeranimation wird die Flugbahn eines Helikopters in einem kartesischen Koordinatensystem

beschrieben und als geradlinig angenommen. Der Helikopter wird wird als punktförmiges Objekt angesehen.

Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer.

Der Helikopter bewegt sich vom Punkt A(10/20/0,2) in Richtung des Punktes

B(40/40/0,2). Es soll auf der Hälfte der Strecke AB, im Punkt M, seinen Kurs ändern,

da sich Nebel gebildet hat.

Die Lage der Nebelfront kann in dem zu betrachteten Bereich durch die nachfolgend  genannte Gleichung einer Ebene E beschrieben werden:

E: x=(20/30/14,2)+s(-3/-2/4)+t(4/1/-7)


a) Zeigen Sie, dass M(25/30/0,2) der Mittelpunkt der Strecke in AB ist!

b) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene auf

    (Kontrollergebnis:10x-5y+5z=121)

c) Der Helikopter fliegt nun, um der Nebelwand auszuweichen, von M aus in Richtung

    des Punktes C(30/40/0,2)

d) Da sich bei der Ankunft des Helikopters in C der Nebel gelichtet hat,

    fliegt er von hier aus zum Punkt B.

   Weisen sie nach, dass ein Zusammenstoß des Helikopters auf dem neuen Kurs von C nach B mit einem anderen Heli, der auf dem Weg von E(55/60/0,6) nach F(30/30/0) ist, ausgeschlossen ist!

e) Nehmen Sie begründet Stellung zu der Aussag: "Die Helikopter werden auf jeden Fall auf der Strecke CB kollidieren."

Comments

Kannst du davon gar nichts alleine rechnen ? Nicht mal den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten ? Und auch keine Koordinatengleichung ?

Die Kontrollergebnisse sind doch extra schon gegeben. Es wäre für dich hilfreich, wenn du es zunächst alleine probierst bevor wir das hier vorrechnen.

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Hi,

den Mittelpunkt berechnen kann ich :) :Beide Vektoren, von Punkt A und B, zusammen rechnen und das ergebnis durch zwei sprich: x=(10+40)/2= 25; y=(20+40)/2= 30; z=(0,2+0,2)/2= 0,2

Das wars aber leider schon von dem was ich kann :( , ich lerns am besten und vorallem schnellsten, wenn ich sehe wie es richtig geht :)

Answer 1

Da sich ja sonst keiner erbarmt ... :-)

 

a)

Mittelpunkt der Strecke von A nach B =

(A + B) / 2 =

((10|20|02) + (40|40|02)) / 2 =

(50|60|04) / 2 =

(25|30|02)

 

b)

Koordinatengleichung der Ebene 

E: x = (20|30|14,2) + s * (-3|-2|4) + t * (4|1|-7)

Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt 

(-2*(-7)-1*4|4*4-(-3)*(-7)|-3*1-4*(-2))=

(10|-5|5)

Damit hat man die linke Seite der Koordinatengleichung:

10x - 5y + 5z =

Jetzt setzt man die Koordinaten des Stützvektors ein und erhält die rechte Seite der Koordinatengleichung: 

10*20 - 5*30 + 5*14,2 = 200 - 150 + 71 = 121

Insgesamt also: 

10x - 5y + 5z = 121

 

c)

Der Heli fliegt von M(25|30|0,2) aus in Richtung C(30|40|0,2).

Seine Flugbahn ist dann also

M + r * (C-M) =

(25|30|0,2) + r * (5|10|0)

Na toll, dazu gibt es keine Frage :-))

 

d)

Dann fliegt der Heli von C(30|40|0,2) nach B(40|40|0,2)

Seine Flugbahn ist dann also

C + r * (B-C) =

(30|40|0,2) + r * (10|0|0)

 

Der andere Heli fliegt von E(55|60|0,6) nach F(30|30|0)

Dessen Flugbahn ist also

E + s * (F-E) =

(55|60|0,6) + s * (-25|-30|-0,6)

 

Würden die beiden Helis kollidieren, müsste es einen gemeinsamen Punkt der beiden Flugrichtungen geben, 

also: 

(30|40|0,2) + r * (10|0|0) = (55|60|0,6) + s * (-25|-30|-0,6)

30 + 10r = 55 - 25s

40 = 60 - 30s                                           => 30s = 20 => s = 2/3

0,2 = 0,6 - 0,6s                                        => 0,2 = 0,6 - 0,6*2/3 => 0,6*2/3 = 0,4 

Jetzt noch s = 2/3 in die erste Gleichung eingesetzt: 

30 + 10r = 55 - 25*2/3

10r = 55 - 30 - 50/3 = 25 - 50/3 = 75/3 - 50/3 = 25/3

r = 25/30

Ja, die beiden Helis könnten kollidieren, denn 

(30|40|0,2) + 25/30 * (10|0|0) = (55|60|0,6) + 2/3 * (-25|-30|-0,6)

 

e)

Die Helikopter werden nicht in jedem Falle kollidieren, denn es gibt zwar einen gemeinsamen Punkt in ihren Flugbahnen, aber hierbei werden nicht die Geschwindigkeiten berücksichtigt, mit der sie jeweils fliegen.

Der eine Helikopter kann den Punkt schon lange passiert haben, wenn der andere Helikopter an diesem Punkt

ankommt!