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Sei φ : (Z8, +8) (Z12, +12) ein Homomorphismus mit φ(1) = 3. Berechnen Sie φ(x) für alle x Z8

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φ(1) = 3. Berechnen Sie φ(x) für alle x Z8


φ(2)=φ(1+8  1)= φ(1) +12 φ(1) = 3 +12 3 =  6
φ(3)=φ(2+8 1)= φ(2) +12 φ(1) = 6 +12 3 =  9


φ(4)=φ(3+8 1)= φ(3) +12 φ(1) = 9 +12 3 =  0


φ(5)=φ(4+8 1)= φ(4) +12 φ(1) = 0 +12 3 =  3

etc.


Avatar von 287 k 🚀

warum hier φ(2) =6

und φ(3)=9 sind ? können sie bitte näher erklären ?

na Ja .. jetzt habe ich es verstanden .. :) sie brauchen nicht mir zu erklären

Zunächst ist 2 = 1 + 1

und das ist auch in Z8 so.

Da es ein Hom. ist, ist  ja immer

φ(a+b) = φ(a)  +    φ(b)

Hier also

φ(1+1 ) = φ(1)  +    φ(1)

und bekannt ist ja φ(1) = 3.

Einsetzen ergibt

φ(1+1 ) = φ(1)  +    φ(1) = 3+3 = 6 .

Problematischer wird es bei

φ(4)=φ(3+8 1)= φ(3) +12 φ(1) = 9 +12 3

Denn bei der Addition Modulo 12 ist ja

9 + 3 =  0.

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