injektivität zeigen beweis

Question

Es wäre schön wenn ich hierzu ein paar Lösungsansätze bekommen würde. Ich weiß leider nicht wie genau ich da rangehen soll:

Answer 1

f ' (x) > 0 für alle x aus IR, also f streng monoton steigend und damit injektiv.

lim x gegen unendlich f(x) = + unendlich und

lim x gegen  - unendlich f(x) = - unendlich

und f stetig, also  f(IR) = IR.

f^inv ' (y) = 1 / f  ' (x)   mit  y = 1 ist x= 0  

also   f^inv ' (1) = 1 / f  ' (0 )  = 1/1 = 1

Comments

wie genau meinst du das bei der b) Ich verstehe da auch nicht was die Aufgabenstellung ist

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Kannst du vielleicht noch die (c) erläutern. Habe das mit der Umkehrfunktion nicht ganz verstanden. Und wieso wird  y=1 und x=0 gesetzt ?

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Es gibt einen Satz über die Ableitung der Umkehtfunktion

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Den habe ich hier benutzt.

Du brauchst ja   f^inv ' (1), also ist das y aus der Formel bie dir die 1

also y=1.

allgemein ist immer y = f(x) also hier 1 = f(x) .

also 1 = x - sin(x) + e^x   und wenn du hier

x=0 einsetzt, dann siehst du, dass es stimmt.

Also muss in der Formel  f^inv ' (y) = 1 / f  ' (x)

für y die 1 und für x die 0 eingesetzt werden.