Eigenwert, Eigenvektoren und Basen. Dreiecksmatrix durch umstellen erzeugen?

Question

bin soweit durch die Aufgabe durch:

Det(A)=98

Ew1: 1 -> Ev1: (17/6,-1,0,1)

Ew2: 2 -> Ev2: (-17/5,1,0,0)

Ew3/4: 7 -> Ev3: (0,0,0,0) Ev4: (1,0,0,0)

ich habe die EW mühevoll per polynom ausgerechnet bis mir aufgefallen ist das die Ew auf der Diagonalen stehen es sich jedoch nicht um eine Dreiecksmatrix handelt wegen der 1 (4 Zeile 3 Ziffer). Kann man durch umstellen sagen das es eine ist oder war der lange weg richtig?! bin mir eigentlich sicher das er falsch ist weil ich unter anderem 2 polynomdivision mit Nullstellen raten machen musste. 

Letze frage ist zu e) bin mir nicht sicher ob die Begründung ja die jeweiligen EV als basis , da Linear Unabhängig. Reicht das?

vielen dank!!

Comments

Es existiert eine Permutationsmatrix \(P\) mit der Eigenschaft, dass \(PAP^\mathsf T\) eine obere Dreiecksmatrix ist. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Answer 1

a) det ≠ 0 heißt:   0 ist kein Eigenwert, also Kern = {0} und damit ist

A injektiv und weil von IR^4 nach IR^4 auch bijektiv. Könnte man auch mit

A^-1 existiert begründen.

c) eigenwerte hast du ja und 7 hat alg. Vielfachheit 2 die anderen 1

d) Bei EW 7 stimmt was nicht : Eigenvektoren sind immer ungleich 0-Vektor

der Eigenraum wird von (1,0,0,0) alleine aufgespannt, also

geo. Vielfachheiten überall 1

⇒ Es gibt keine Basis aus Eigenvektoren, also nicht diagonalisierbar.

Comments

in diesem Fall gibt es keine wegen der Dimension? dim(a)=4=/ Anzahl von EV?

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sorry habs jetzt verstanden , da V-1*A*V=diag(Lamda 1,....Lamda n)

nicht diagonalisierbar ist da algVFH(7)=2=/1=geomVFH