Konvergenz Binomialkoeffizient

Question

Konvergent oder divergent?

∑(3k über k) * k²/2^k

Laut wolframalpha kommt hier divergenz raus, aber ich komme da mit Quotientenkriterium auf Konvergenz, kann mir jemand sagen wo mein fehler liegt?

Wenn ich das QK anwende steht bei mir zum schluss:

lim k → ∞ (3k²+4k+1)/(4k³+2k²)

Da ich aber nun aber im Nenner der größte Exponent 3 ist und im Zähler nur 2, ist das ganze doch für k → ∞ <1.

Nach dem Quotientenkriterium also konvergent.

Comments

kannst Du vielleicht noch Deine Rechenschritte darstellen, damit man ggfs. sehen könnte, ob und wenn ja wo Du Dich verrechnet hast?

Gruß

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Klar gerne:

(3k über k) * k²/2^k=(3k!*k²)/(k!*2k!*2^k)

Nun mit dem Quotientenkriterium gilt:

1. Schritt: lim k → ∞ ((3k+1)!*(k+1)²)/((k+1)!*(2k+1)!*2^k+1)*(k!*2k!*2^k)/(3k!*k²)

2. Schritt: lim k → ∞ ((3k)!*(3k+1)*(k+1)²)/((k)!*(k+1)*(2k)!*(2k+1)*2^k+1)*(k!*2k!*2^k)/(3k!*k²)

3. Schritt (kürzen): lim k → ∞ (3k²+4k+1)/(4k³+2k²)

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Hab meinen Fehler bereits gefunden, vielen Dank trotzdem!

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Pff das schreibste jetzt. :-)

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Hey wirklich vielen vielen Dank dir für die Mühe!

Mein riesen Fehler war ich habe bei n+1 falsch zusammengefasst sprich:

ich rechnete: (3*k+1)!.....

stattdessen gilt aber: (3*(k+1))!....

somit komme ich zu einem völlig anderen Ergebnis! Ich bin echt lange davor gesessen bis ich mir noch ein anderes Vid. in youtube angeschaut habe und es endlich zur klarstellung kam!

Dein Ergebnis habe ich so auch :-)

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Entschuldigung, hab das vid. erst vor 5 Min gesehen -.-

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Hallo

den Fehler hatte ich ja auch gefunden. Denke aber auch bitte an die Klammern bei den Fakultäten, denn

$3k! \neq (3k)!$ $$$$

Gruss

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Ok danke dir snoop24! War mir trotzdem eine Lehre :-) hab mir extra nen Account gemacht um dir nen Daumen hoch zu geben :-P

Die Seite ist echt Klasse!

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Kein Problem, das Pff war nur ein Spass. Habe nebenbei was neues bzgl.LaTeX gelernt.

Answer 1

ich fasse zusammen:

\[  \binom{3k}{k} \cdot \frac{k²}{2^k}=\frac{(3k)!\cdot k²}{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k} \]

1.Schritt

\[  \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+1)!\cdot (k+1)²}{(k+1)!\cdot (2k+1)! \cdot 2^k+1} \cdot \frac{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k}{(3k)!\cdot k²} \]

Falls ich mich nicht irre hast Du hier schon den Fehler gemacht. Du hast nicht korrekt k+1 für k eingesetzt.. Ebenso hast Du - wie ich zuerst auch - die Klammern bei $(3k)!$ etc. vergessen.

Richtig wäre:

\[  \lim_{k \to \infty} \frac{(3(k+1))!\cdot (k+1)²}{(k+1)!\cdot (2(k+1))! \cdot 2^k+1} \cdot \frac{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k}{(3k)!\cdot k²} \]

\[  = \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+3)!\cdot (k+1)²}{(k+1)!\cdot (2k+2)! \cdot 2^k+1} \cdot \frac{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k}{(3k)!\cdot k²} \]

\[  = \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+3)\cdot (3k+2)\cdot (3k+1) \cdot (k+1)}{k!\cdot (2k+2) \cdot (2k+1) \cdot 2} \cdot \frac{k!}{k²} \]

\[  = \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+3)\cdot (3k+2)\cdot (3k+1) \cdot (k+1)}{(2k+2) \cdot (2k+1) \cdot 2k²}  \]

\[  = \lim_{k \to \infty} \frac{27k⁴+ ...}{8k⁴+  ...}  \]

Das würde jetzt auch für Divergenz sprechen. Bitte trotzdem nachrechnen. :-)

Gruß

$$$$