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Aufgabe:

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(k!)^2}{2k!} \text{ auf Konvergenz überprüfen } $$


Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe bei einer Wikibooks Seite "Mathe für Nichts-Freaks" gefunden und versucht zu lösen.

Hier deren Lösung:

Quotientenkriterium:
$$ \begin{aligned} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=\frac{\frac{((k+1) !)^{2}}{(2 k+2) !}}{\frac{(k !)^{2}}{(2 k) !}}=& \frac{((k+1) !)^{2}(2 k) !}{(k !)^{2}(2 k+2) !}=\frac{k ! k !(k+1)^{2}(2 k) !}{k ! k !(2 k) !(2 k+1)(2 k+2)}=\frac{k^{2}+2 k+1}{4 k^{2}+6 k+2} \\ =& \frac{1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^{2}}}{4+\frac{6}{k}+\frac{2}{k^{2}}} \longrightarrow \frac{1}{4}<1 \end{aligned} $$
Damit konvergiert die Reihe absolut

Meine Lösung: IMG_5082.jpg

Meine Frage wäre: Warum darf man bei meiner ersten Zeile nicht kürzen? Bzw. Wo habe ich den Fehler gemacht.

Avatar von

Es ist etwa (k+1)!/k=k, das finde ich bei dir nicht. Weiter hast du bereits am Anfang statt (2k)! einfach 2k! geschrieben, was nicht das gleiche ist. Sodann ist (2(k+1))!/(2k)!=(2k+2)!/(2k)!=(2k+2)*(2k+1), das finde ich bei dir auch nicht.

Hallo,

Du hast mit

$$2 \cdot k!= 2 \cdot ( 1 \cdot 2 \cdots k)$$

gerechnet. Die Lösung mit

$$(2k)!=1 \cdot 2 \cdots (2k-1) \cdot 2k$$

Gruß

PS: Kommentare haben sich überschnitten.

Vielleicht kannst du noch die Originalaufgabe verlinken?

Müsste dann nicht schon in der Aufgabenstellung das in Klammern geschrieben sein?

Weil das kann man ja gar nicht so erkennen, ob das 2k! oder (2k)! mit gemeint ist @MathePeter

Die Klammern hätten auch in der Aufgabenstellung stehen müssen.

ps: Aber dort (Reihe 2) stehen ja auch Klammern.

Ist doch in der Aufgabenstellung mit Klammern geschrieben?

Ok, ich seh's gerade auch, hab verpennt :D Sorry! Und Danke an alle!

1 Antwort

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(2k)!≠2k! und (2k+2)!≠2(k+1)!

Avatar von 123 k 🚀

Ja, aber woran soll ich das denn erkennen, dass da geklammert sein soll? Also aus der Aufgabenstellung her

Habe den Fehler gefunden, habe die Aufgabe falsch abgeschrieben, trotzdem

Hallo,

ich habe da mal eine Frage: Was ist eigentlich der Sinn davon, eine Antwort die bereits zweimal gegeben ist, noch ein 3. Mal zu geben?

Gruß

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