Fundamentalsystem von Lösungen für reelles Gleichungssystem

Question

Ich möchte ein Fundamentalsystem von Lösungen für folgendes reelles Gleichungssystem berechnen:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 2x₄ + 6x₅ = 0

Jetzt bringe ich das ganze in Zeilenstufenform:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0

             2x₃ +       4x₅ = 0

Ala Ergebnis soll folgendes rauskommen:

(-1, 1, 0, 0, 0)

(-1, 0, 0, 1, 0)

(1, 0, -2, 0, 1)

Aber wie komme ich zu dem Ergebnis? Mir ist nicht klar, wie ich von der Zeilenstufenform dahinkomme? Gibt es da noch Zwischenschritte, die ich machen muss?

Answer 1

Bin auch in der Prüfungsvorbereitung und habe daher mal deine Aufgabe gerechnet. Denke dass es so stimmt.

Hier ist eine ähnliche Aufgabe:
https://www.mathelounge.de/35721/fundamentalsystem-losungen-folgende-homogene-gleichungssystem

Deine ZSF ist schonmal richtig:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0

             2x₃ +       4x₅ = 0

Jetzte gehst du hin und versuchst es das GS zu lösen. Du hast dabei 3 Unbekannte zu viel.

Für x₃= -2x₅ und x₁=x₅-x₄-x₂.

Aufgeschrieben kommt dabei raus:

[x₅-x₄-x₂ , x₂ , -2x₅ , x₄ , x₅ ]

Schau dir mal die Variablen in deinem Lösungsvektor an. Relevant ist dabei nur x2, x4 und x5.

Jetzt trennst du alles voneinander:

x₂*(-1,1,0,0,0), x₄*(-1,0,0,1,0), x₅*(1,0,-2,0,1)

Comments

Habe bei der Aufgabe wohl viel zu kompliziert gedacht, obwohl es doch eigentlich viel einfacher ist.