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Aufgabe:

Bestimmen Sie ein reelles FS


Problem/Ansatz:

i. x(6) + 3x(4) = 0

ii. x(4) + 4x´´ + 4x = 0

Zu (i) habe ich die Eigenwerte 0 und i \( \sqrt[]{3} \)

Damit lautet das komplexe FS {e0t,e i \( \sqrt[]{3} \)t}

Leider verstehe ich nicht ganz wie ich nun das FS in ein reelles FS umwandle.

von

1 Antwort

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Hallo,

Aufgabe i)

Du hast insgesamt 6 Eigenwerte:

λ^6 +3λ^4=0

λ^4(λ^2 +3)=0

λ1.2.3.4 =0

λ^2 +3=0

λ^2 = -3 

λ5,6  =± √-3  =± √-1 √ 3 =± i √3 ------------->√-1=i

λ5.6=±i √3

Umwandlung vom Komplexen erfolgt durch die Eulerbeziehung:

e^(α+ iβ) = e^(α)  *  cos (β)+ i e^(α) * sin(β)

Lösung:

FS {1 ,t ,t^2, t^3 ,cos(√3 t) ,sin (√3 t) }

von 117 k 🚀

Hallo,

danke für die Antwort.

Habe alles verstanden bis zum Punkt mit der Euler-Beziehung.

Wie kann ich herausfinden, ob es sich um +i \( \sqrt[]{3} \) handelt oder -i \( \sqrt[]{3} \) ?

MfG

siehe oben geändert

Hi,

Danke für die Hilfe.

Leider habe ich noch eine Frage zum reellen FS.


Wir haben ja bei den letzten zwei Eigenwerte die komplexen FS:

e±i\( \sqrt{3} \)t

Aber es ist ja eine doppelte Nullstelle.

Und in die Euler-Beziehung eingefügt erhalten wir doch:

e0*cos(\( \sqrt{3} \) )+ i*e0*sin(\( \sqrt{3} \) )

Das wäre dann:

cos(\( \sqrt{3} \) )+ i*sin(\( \sqrt{3} \) )


Ist jetzt so die Regel, dass Real- und der Imaginärteil jeweils in das FS eingetragen werden oder wie kommt man auf das FS?



Wenn Du das λ in die Eulerbeziehung einsetzt , verschwindet das i .

Du bekommst + C5 cos(√3 *t) + C6 sin(√3 *t) direkt nach dem Ausrechnen,

Das C entfällt ja beim FS.

Achso, danke jetzt habe ich das verstanden.

Kurze Frage zu ii:

Ist x´´=x2

Oder ist das was ganz anderes?

Ist x´´=x^2 ->nein , ist halt x''

Ein anderes Problem?

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