Lösungen komplexer Gleichung

Question

\( {z}^{3} - (5-3i){z}^{2} + (11-4i)z - 7 + i = 0 \)

Zwei Lösungen sind \( z_1 = 1\) und \(z_2 = 1+i \). Berechnen Sie die Übrigen Lösungen / die Übrige Lösung.

Da ich schon zwei Lösungen gegeben habe, habe ich \((z -z_1)*(z-z_2) \) gerechnet und mit den Ergebnis dann eine Polynomdivision mit meinem Ursprungpolynom gemacht. Aber bei mir löst sich das Polynom nicht auf. Ich kriege am Ende einen Restbetrag, mit dem ich nichts anfangen kann. 

Kann das bitte jemand nachrechnen und sagen, ob es sich auflöst oder ob ich etwas falsch mache.

Comments

Wenn du deine Gleichung hier eingibst: https://www.wolframalpha.com/

siehst du sofort, ob die angegebenen Lösungen stimmen.

Du kannst auch die Division durchführen lassen und damit dann schrittweise deine Polynomdivision korrigieren.

Anmerkung. Kannst du nicht vorausahnen, was das Produkt aller 3 Lösungen geben muss?  

Das könnte deine Rechnung wesentlich abkürzen. 

---

Also die zwei Lösungen waren schon gegeben. Ich denke nicht, das mir falsche Lösungen angegeben werden.

Wenn ich versuche auf die Rechnung zugehen, werde ich auf die Pro-Version verwiesen.

Das mit dem vorausahnen weiß ich nicht. Wenn ichs verständlich darlegen kann bestimmt. 

Answer 1

Die Linearfaktorzerlegung deines Polynoms wird wie folgt aussehen:

z^3 + Az^2 + Bz + C = (z-a)(z-b)(z-c)

Daher muss gelten.

(-a)(-b)(-c) = C

-abc= C

In dieser Gleichung hast du genau eine Unbekannte. 

Diese kannst du mit einer Division bestimmen. 

c = C/(-ab) 

Answer 2

(z - 1)·(z - 1 - i) = z² - 2·z + 1 + i·(1 - z) 

[ z³ - (5 - 3·i)·z² + (11 - 4·i)·z + i - 7 ] :  [  z² - 2·z + 1 + i·(1 - z) ] = z - 3 + 4·i 

Die Division "geht auf"  → z₃ = 3 - 4·i

Gruß Wolfgang

Comments

Klasse, danke.

Habe meinen Fehler auch gefunden.