Gegeben seien die Funktionen f(x) = 2^x und g(x) = 2x+1.

Question

dies ist eine Klausur Übungsaufgabe :

bei a) habe ich für f(x) = 2^x den graph beginnend bei Nullpunkt diagonal zwischen der x. und y- achse gezeichnet. 

für f(x) = 2x+1 den selben graph, nur das der graph bei (0|1) beginnt. 

bei b) muss ich da nach x auflösen ?

Comments

b) Suche mal, ob du in deinen Unterlagen einen Zwischenwertsatz findest.

Wichtig wäre dann noch, dass f und g auf I stetig sind. 

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In der mitte rum müsste es sein oder?

Hat doch was mit der stwigung zutun oder?

Answer 1

2^x = 2x+1 

⇔ 2^x - 2x - 1 = 0

f(x) =  2^x - 2x - 1  ist eine stetige Funktion

f(2) = -1 < 0   ,  f(3) = 1 > 0 

 →  f hat nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in [ 2 ; 3 ], die Gleichung hat dort also mindestens eine Lösung.

Gruß Wolfgang

Comments

woher weiß ich das die Funktion : f(x) =  2^x - 2x - 1

eine stetige funktion ist ? 

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muss man dabei den limes berechnen? oder erkennt man es auch so?

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Wenn du weisst, dass 

y=2^x

y=2x

und 

y=1 

stetig sind,

Und du ausserdem gelernt hast, dass sich bei Subtraktion an der Stetigkeit nichts ändert,

genügen diese Tatsachen als Beweis für die Stetigkeit.