Bestimmen Sie S, sodass S^{-1}AS Diagonalmatrix

Question

Ich sitze derzeit an folgender Aufgabe:

Es sei
$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} {13} & {12} & {-12} & {-4} \\ {-2} & {-1} & {0} & {-2} \\ {4} & {4} & {-5} & {-4} \\ {4} & {4} & {-4} & {1} \end{array}\right) \in Q^{4 \times 4} $$
Bestimmen Sie eine Matrix \( S \in \mathrm{GL}_{4}(\mathrm{Q}), \) so dass \( S^{-1} A S \) eine Diagonalmatrix ist.

Ich habe nun versucht zunächst die Eigenwerte zu bestimmen und erhalte schließlich das charakteristische Polynom: λ⁴ - 8λ³ + 14λ² - 88λ + 465. Die Nullstellen davon machen mich allerdings etwas stutzig, ob mein Ansatz hier richtig ist. Währe über einen Tipp sehr dankbar!

Comments

$$p_A(t)=t^4-8t^3+14t^2+8t-15=(t+1)(t-1)(t-3)(t-5).$$

Answer 1

\(|A -\lambda E| =  \lambda^{4} - 8 \; \lambda^{3} + 14 \; \lambda^{2} + 8 \; \lambda- 15 = 0 \)

===>

\(Eigenwerte \, :=  \, \left\{ -1, 1, 3, 5 \right\}, DimEigenraum \, :=  \, \left\{ 1, 1, 1, 1 \right\} \)

\( \small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrrr}14&12&-12&-4\\-2&0&0&-2\\4&4&-4&-4\\4&4&-4&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrrr}12&12&-12&-4\\-2&-2&0&-2\\4&4&-6&-4\\4&4&-4&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&3&\left(\begin{array}{rrrr}10&12&-12&-4\\-2&-4&0&-2\\4&4&-8&-4\\4&4&-4&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&5&\left(\begin{array}{rrrr}8&12&-12&-4\\-2&-6&0&-2\\4&4&-10&-4\\4&4&-4&-4\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===> EVs

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}0&-1&1&2\\1&1&-1&-1\\1&0&\frac{-1}{2}&0\\0&0&1&1\\\end{array}\right)\)

\(D \, :=  \, T^{-1} \; A \; T\)