Nachweis der Differenzierbarkeit von der Funktion f. f(x)=f(x0)+c*(x-x0)+φ(x)

Question

Meine Aufgabe ist:
Weisen Sie nach: Ist x₀ elemtent von R und f eine Funktion, die in einer Umgebung U von x₀ definiert ist und in der Form

f(x)=f(x₀)+c*(x-x₀)+φ(x) mit c element von R, φ: U --> R, lim_{x --> x0, x ungleich x0} (φ(x))/(x-x₀)=0

dargestellt werden kann, so ist f in x₀ differenzierbar und es gilt f'(x₀)=c.

Kann mir jemand da weiterhelfen? Ich weiß leider nicht was ich da genau machen muss :(

Answer 1

für Diff.bar bei   x0 musst du ja zeigen:

lim (   f(x) - f(xo) / ( x - xo ) )  für x gegen x0 existiert und ist dann f ' (xo).

Hier

f(x)=f(x₀)+c*(x-x₀)+φ(x)

f(x) - f(x₀)  =   c*(x-x₀)+φ(x)    | : (x-x₀)

( f(x) - f(x₀))  /   (x-x₀)  = c   +    φ(x)  : (x-x₀)

letzteres geht gegen 0, also fertig.