Anwendung des Majorantenkriteriums: ∑∞_(n=1) 1/(n^{2} + 5)^{2}

Question

Hi,

ich soll feststellen, ob die folgende Reihe konvergiert: ∑^∞_n=1 1/(n² + 5)².
Ich bin zwar noch lange nicht bei dem Thema Reihen angelangt, dennoch möchte ich einen Beweis versuchen. Um die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen versuche ich das Ganze mit dem Majorantenkriterium zu beweisen.

Voraussetzung: ∑^∞_n=1 b_n , b_n ≥ 1 ist für alle n Element der natürlichen Zahlen konvergent.
Behauptung: Die Reihe ∑^∞_n=1 a_n konvergiert.
Beweis:
Sei ∑∞_n=1 1/(n2 + 5)2 gegeben.
| 1/(n² + 5)² | = 1/(n² + 5)² = 1/(n⁴ + 10n² + 25) < 1/n⁴ < 1/n².
Daraus folgt, dass die Reihe ∑^∞_n=1 a_n konvergiert, denn ∑^∞_n=1 1/n² = π²/6 = ∑^∞_n=1 b_n.

Meine erste Frage ist natürlich ob mein Beweis stimmt und alles legitim war. Meine Idee war es, zu zeigen, dass die Summe von a_n kleiner ist als 1/n² und somit auch konvergieren muss.

Meine zweite Frage ist: Woher weis ich, dass eine Reihe konvergiert, wenn ich mal nicht nach 1/n² umformen kann? Schließlich gibt es sehr viele Reihen, und ich konnte hier so nur umformen, weil ich wusste, dass ∑^∞_n=1 1/n² = π²/6 gilt. Gibt es bestimmte Reihen, die man im Kopf haben sollte (Von denen man weis, welchen Wert sie haben)? Die Frage bezieht sich jetzt speziell auf das Majoranten- und Minorantenkriterium.

LG

Comments

Edit: Nurnoch die zweite Frage ist relevant, die erste hat sich geklärt.

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Voraussetzung: ∑^∞_n=1 b_n , b_n ≥ 1 ist für alle n Element der natürlichen Zahlen konvergent.

Was soll das bedeuten? n ist der Summationsindex, also gebunden und keine freie Variable. b_n ≥ 1 ist auch Quatsch, weil dann die Reihe bestimmt divergiert.

Meine Idee war es, zu zeigen, dass die Summe von a_n kleiner ist als 1/n² und somit auch konvergieren muss.

Keine gute Idee. Im Majorantenkriterium wird gliedweise verglichen.

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Es sollte Voraussetzung: ∑^∞_n=0 b_n , b_n ≥ 0 ist für alle n Element der natürlichen Zahlen konvergent lauten, diesen Fehler konnte ich nicht mehr korrigieren.

Naja, was ist an
| 1/(n² + 5)² | = 1/(n² + 5)² = 1/(n⁴ + 10n² + 25) < 1/n⁴ < 1/n² = b_n falsch?

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Dann ist der Satz immer noch Quatsch, s.o.

Naja, was ist an
| 1/(n² + 5)² | = 1/(n² + 5)² = 1/(n⁴ + 10n² + 25) < 1/n⁴ < 1/n² = b_n falsch?

Nichts. Falsch ist Deine Verbalisierung "Meine Idee war ..."

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Und was ist an "∑^∞_n=0 b_n , für die gilt b_n ≥ 0 ist für alle n Element der natürlichen Zahlen konvergent" falsch? Für alle n größer gleich n₀: |a_n|  ≤ b_n => ∑^∞_n=0 a_n konvergiert. Und das wurde ja gezeigt.

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Mhmm verstehe ich nicht. Bei 1/(n2 + 5)² war mir nur sofort bewusst, wie ich zeigen kann, dass diese Reihe konvergiert. Der Kommentar gehörte nicht mehr zum Beweis, er war nur da, dass jemand weis, wieso ich so vorgegangen bin.

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\(\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots\). Da ist kein freies \(n\). Deshalb kann man auch nicht sagen, \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) soll für alle \(n\in\mathbb{N}\) konvergieren.

Der Kommentar gehörte nicht mehr zum Beweis, er war nur da, dass jemand weis, wieso ich so vorgegangen bin.

Dein Kommentar zeigt, dass Du die Sache selber noch nicht recht verstanden hast. Ich habe mir erlaubt, Dich darauf hinzuweisen.

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Achso jetzt verstehe ich worauf du hinaus willst. Vielen Dank für die Bemerkung :-)

Ja, ich bin erst im Kapitel Algebraische Strukturen (Gruppen, Homomorphismen, Körper, Ringe). Ich habe mir das Kapitel Reihen mal kurz angeschaut (gestern kurz Folgen) und war sofort gepackt, dass ich einfach mal eins bis zwei Beweise versuchen wollte :-)

LG

Answer 1

Da die erste Frage sich geklärt haben zu scheint laut Kommentaren:
Natürlich gibt es viele wichtige Majoranten und Minoranten die man im Kopf haben sollte doch mit der Zeit entwickelt man einfach ein Verständnis dafür und kann sich welche aufbauen die sich dann recht schnell beweisen lassen. Ein gewisses Grundwissen kannst du sicher erlangen, wenn du dir möglichst viele Beispielaufgaben aus dem Internet anschaust und auf die verwendeten Majoranten und Minoranten achtest :)

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Vielen Dank für die Antwort :-)