Gradient, Richtungsableitung, partielle Ableitung bestimmen

Question

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Sei Ω={(x,y)∈ℝ:x²+y²<25} und

a) Bestimmen Sie für alle (x,y)∈Ω den Gradienten grad f(x,y) und betrachten Sie für alle (x,y) ≠ (0,0)

den normierten Vektor

v_grad (x,y):=(grad f(x,y))/(|| grad f(x,y) ||₂).

b) Erstellen Sie eine Skizze, in die Sie für alle (x,y) ∈ M,

M:={(2,1),(2,-1),(-4,2),(-4,-2)}, den Vektorpfeil zu v_grad(x,y) einzeichnen.

c)Geben Sie den Wert der Richtungsableitung (d f(x,y))/(d v_grad(x,y))   → (A)

von f in Richtung v_grad(x,y) für alle (x,y)∈Ω \{(0,0)} an.

d) Berechnen Sie die Werte der Richtungsbaleitung in (A) an den Stellen (x,y)∈M.

Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte, weil ich einfach nicht damit klar komme.

zu Aufgabenteil a) habe ich schon die partiellen Ableitungen nach x und nach y bestimmt. Nun weiß ich nicht umzugehen mit dem angegebenen normierten Vektor.

Bei b) bräuchte ich kurz einen Denkansatz wie man das Zeichenen angeht und bei c) und d) weiß ich leider gar nicht weiter.

MfG Lola

Comments

Wie sieht f aus?

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Oh das wichtigste hab ich vergessen!

f: Ω→ℝ,  f(x,y):= √(25-x²-y²)

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Und was soll (A) sein? Hast Du hier auch nähere Informationen ?

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(A) ist das gegebene Polynom  bei der Teilaufgabe c)

Answer 1

Hallo Lola,

irgendwie ist das eine komische Aufgabe:

Hier die Skizze:

~draw~ ;vektor(2|1 -0.8944|-0.4472 );vektor(2|-1 -0.8944|0.4472 );vektor(-4|2 0.8944|-0.4472 );vektor(-4|-2 0.8944|0.4472 );;zoom(10) ~draw~

Die Berechnungen findest Du in der Anlage

Gruß

Woodoo

Comments

Hey woodoo,
danke dass du dir Zeit genommen hast!

Und ja die Aufgabe ist wirklich komisch, deshalb habe ich mich auch an ein Forum gewandt.

Welche Berechnungen genau? Meinst du die zur Skizze?

MfG
Lola

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Gradient:

$$ \nabla f(x,y)= \begin{pmatrix}  \frac { -x }{ \sqrt { 25-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  }  \\ \frac { -y }{ \sqrt { 25-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  }   \end{pmatrix}$$

$$ \frac { \nabla f(x,y) }{ \left\| \nabla f(x,y) \right\|  } =\frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  }  \begin{pmatrix} -x\\-y \end{pmatrix}   $$

Richtungsableitung:
$$\frac { \delta f(x,y) }{ \delta a } =\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  }{ \sqrt { 25-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  }  $$