partielle Ableitung und Gradient bestimmen

Question

f(x,y,z) = ((2x-1)(3y-2)) / (4z-3)

Kann mir jemand davon die partielle Ableitung erklären? Ich komm mit dem Prinzip durch die Klammern und den Bruch durcheinander...

Answer 1

Es ist

$$ f(x,y,z)=(2x-1)(3y-2)(4z-3)^{-1} $$

ein Produkt, dass Du nach Produktregel (u_xvw + uv_xw + uvw_x) partiell ableitest, demnach ist ( uv_xw und uvw_x verschwinden, da v_x und w_x =0)

$$ f_x(x,y,z)=2(3y-2)(4z-3)^{-1} $$

analog werden
 $$ f_y(x,y,z)=3(2x-1)(4z-3)^{-1} $$
 $$ f_z(x,y,z)=-4(2x-1)(3y-2)(4z-3)^{-2} $$

Mach Dir genau klar, welche Terme jeweils als konstante Faktoren betrachtet werden und also erhalten bleiben.

Viel Spaß im Weiteren

Answer 2

schreibe

$$ f(x,y,z)) = (2x-1)(3y-2)(4z-3)^{-1} $$

Bei der partiellen Ableitung nach einer Variablen, zum Beispiel nach \(x\), behandelst du die anderen Variablen, also \(y\) und \(z\) wie Konstanten.

$$ f_x(x,y,z) = 2(3y-2)(4z-3)^{-1} $$

Beachte, da \(y\) und \(z\) wie Konstanten behandelt wurden, ist der Ausdruck \((3y-2)(4z-3)^{-1}\) einfach nur als Vorfaktor des abzuleitenden Terms \((2x-1) \) zu behandeln.

Ähnlich berechnest du nun noch \( f_y\) und \(f_z\)

Der Gradient der Funktion ist der Vektor der partiellen Ableitungen

$$ \nabla f = (f_x, f_y, f_z)^T $$

Gruß