Natürlicher Logarithmus Regel ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Question

obere Regel ist bekannt, aber in einer Musterlösung einer Aufgabe steht nun folgendes in einer Gleichung:

ln(n/ n + 1) ≥ - 1 / n =

1 / n ≥ ln(n+1) - ln (n)

Warum darf ich die Regel hier einfach ändern? oder ist die reihenfolge beliebig? im nächsten schritt kann ich die subtraktion ja dann wieder zum bruch umformen, der dann andersrum als vorher wäre. beliebig kann also nicht sein, also was übersehe ich?

Answer 1

die Regel wurde nicht geändert:

ln(n/ n + 1) ≥ - 1 / n 

 Nach der "Regel":

⇔ ln(n) - ln(n+1) ≥ -1/n  | • (-1)   

⇔  ln(n+1) - ln(n) ≤ 1/n     

 [ Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht das Zeichen um ]

Seiten vertauscht:

⇔ 1 / n ≥ ln(n+1) - ln (n)

Gruß Wolfgang