Prüfe die Aussage: x1, x2 beliebig, x1 < x2 → f(x1) < f(x2).

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = 6x - x²

Prüfe die Aussage: x₁, x₂ beliebig, x₁ < x₂  →   f(x₁) < f(x₂).

Antwortmöglichkeiten

(A)  Die Aussage ist falsch
(B)  Die Aussage ist nur richtig für 0 ≤ x₁ < x₂ < 3
(C)  Die Aussage ist richtig für 0 ≤x₁ < x₂ ≤6
(D) Die Aussage ist nur für  2*x₁ < x₂ richtig
(E) Die Aussage ist für 6 ≤ x₁ < x2 richtig


Die Musterlösung sagt, dass die Aussage nicht zutrifft (A)
Dabei wurde für x₁ = 3 und für x₂= 6 jeweils in die Gleichung eingesetzt, wodurch der Widerspruch deutlich wurde. Warum hat man aber gerade die Zahlen "3" & "6" gewählt ?

- Klar in der Aufgabenstellung steht ja: x₁ < x₂  .

Wenn ich aber für x₁=1 und für x₂ = 2 einsetze komme ich zu einem anderen Resulatat. Liegt das vlt. an den gegebenen Antwortmöglichkeiten ? - Wo genau kann ich dann aber genau ableiten dass ich für x₁ = 3 und für x₂= 6 nehmen muss ?

Answer 1

Die Aussage ist richtig für alle x₂ < 3, da nur in diesem Bereich die Ableitung positiv ist.

Comments

Die in der Musterlösung haben abe  x₂ = 6 genommen, was ja nicht x₂ <  3 entspricht

Answer 2

Hallo

Um zu zeigen, dass (A) zutrifft, reicht es 3 und 6 einzusetzen. Es gilt ja laut der Aussage für alle \(x_1\), \(x_2\) die die Bedingung erfuellen und das stimmt eben nicht. Man haette auch 5 und 10 nehmen koennen.

Die Aussage bedeutet ja, dass auf dem Intervall, wo sie gilt, \( f(x) \) streng monoton steigend sein muss, also \( f'(x)>0 \). Das gilt \( \forall x < 3 \).

Was ich mich frage ist jedoch, warum die anderen Aussagen nicht auch ueberprueft worden sind, denn es gibt durchaus Bedingungen unter denen die Aussage korrekt ist, z.B. für \( x_1<x_2\leq 3 \).
Bei \(x=3 \) liegt der Scheitelpunkt der nach unten offenen Parabel und somit ist leicht zu erkennen, dass die genannte Bedinung die Aussage oben richtig werden laesst.

Eine weitere ausreichende Bedingung waere \( a\geq 0 \quad x_1<3-a \quad 3-a<x_2<3+a \).

Inwieweit weitere Bedingungen an sich, die Aussage schon falsch werden lassen - da steht ja immerhin beliebig - ist dann eher eine Frage der Logik.

Falls klar war, dass nur eine Antwortmoeglichkeit stimmen kann, reicht es selbstverstaendlich aus, zu zeigen, dass (A) stimmt.

Gruss

Comments

Genau: Es ging nur darum eine Antqortmöglichkeit zu wählen.

Die Aufgabe ist dazu gedacht innerhalb 2 Minuten gelöst zu werden ... woran hätte ich jetzt gesehen (ohne den Graphen zu zeichnen & Co.) , dass die Zahlen x₁ = 3 und für x₂= 6 geeignet sind.

Hätte ich spontan jetzt x₁ = 1 und für x₂= 2 genommen, wäre die Aussage ja richtig.

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Ein Widerspruch ist eben oft leichter zu zeigen als ein Beweis:

Soll es ueberall gelten, kann ich es widerlegen indem ich zeige, dass es irgendwo nicht gilt. Zeige ich nur, dass es irgendwo gilt, gilt es eben noch lange nicht ueberall.

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Heißt das du hast die Zahlen "3" und "6" spontan und zufällig gewählt ?

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Nun ja, ich habe sie ja nicht gewaehlt, aber man kann erkennen, dass die Funktion eine nach unten geoeffnete Parabel ist und damit kennt man einige ihrer Eigenschaften. Danach ist es ein leichtes geeignete Werte zu waehlen.