Question

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x = (x₁,x₂,x₃)^T → (0,0,0)^T der Funktion f:ℝ³\{0} → ℝ², definiert durch

f(x) = ($\frac{e^d-1}{d}$,$\frac{sin(x_1*x_2*x_3)}{d}$)^T.

Dabei ist d die euklidsche Norm, also d = ||x||₂

Answer 1

Aloha :)

Lege eine Kugel um den Punkt $(0|0|0)$ mit$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in(0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$

Dann ist $d=\|\vec r\|=r$ und $x_1x_2x_3=r^3\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\vartheta\cos\vartheta$.

Das setzen wir in die Funktion ein:$$f_1(r)=\frac{e^r-1}{r}\quad;\quad f_2(r,\varphi,\vartheta)=\frac{\sin(r^3\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\vartheta\cos\vartheta)}{r}$$

und ziehen die Kugel nun auf den Punkt $(0|0|0)$ zusammen:

$$\lim\limits_{r\to0}f_1(r)=\lim\limits_{r\to0}\frac{e^r-1}{r}\stackrel{(\text{L'Hospital})}{=}\lim\limits_{r\to0}\frac{e^r}{1}=\frac11=1$$$$0\le\left|\frac{\sin(r^3\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\vartheta\cos\vartheta)}{r}\right|\stackrel{(|\sin x|\le|x|)}{\le}\left|\frac{r^3\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\vartheta\cos\vartheta}{r}\right|\le|r^2|$$$$\implies\lim\limits_{r\to0}f_2(r,\varphi,\vartheta)=0$$

Der gesuchte Grenzwert ist daher $(1|0)$.