Schon die Behauptung ist falsch. Da das unserem Gast nicht auffällt, muss zwangsläufig sein Beweis einen Fehler enthalten; gleich zwei Fehler finde ich, da sich Fall 2 und 3 als kritisch erweisen werden. Fall 2 beruht auf der Abschätzung n > x . Wenn ich in dem linearen Polynomglied, dem SUBTRAHENDEN , n x durch x ² abschätze, dann wird dieser Subtrahend doch KLEINER ; mithin die rechte Seite GRÖSSER als die linke und nicht kleiner.
An sich ist es ja nicht meines Amtes, die korrekte Aufgabenstellung zu erraten. Trotz meiner bisherigen Bemühungen bzw. meines guten Willens gibt alles keinen Sinn.
Oft hilft schon eine Verallgemeinerung weiter; dein n ersetze ich durch r > 0 € |R
y = f ( x ; r ) := x ^ 4 - r x + ( r - 1 ) ( 1 )
Oft hilft uns die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) schon mal, Schneisen zu schlagen. Was wir nämlich suchen, ist die Anzahl positiver Knoten von ( 1 ) Für r < = 1 sind wir sicher, dass es genau eine Wurzel x1 gibt. Und damit ist die Behauptung in diesem Bereich bereits falsch ( obwohl das offiziell noch nicht gefragt war. )
Ich werde nunmehr zeigen, dass ( 1 ) einen Fixpunkt besitzt. ( 1 ) könntest du ja plotten als 3 D Gebirge ( gibt's Online ) Ich wähle einen ( im Übrigen beliebigen ) Pfad x = x ( r ) durch dieses Gebirge; dann leiten wir ( 1 ) wie üblich nach r ab mittels Produkt-und Kettenregel.
( dy/dr ) = 4 x ³ ( dx/dr ) - x - r ( dx/dr ) + 1 ( 2a )
Notwendige Bedingung für Fixpunkt ist die Stationaritätsforderung
( dx/dr ) = ( dy/dr ) = 0 ===> x ( r ) = const = 1 ( 2b )
Als hinreichende Forderung müssen wir noch die y-Werte untersuchen; in der Tat wird sich heraus stellen, dass wir mit x1 = 1 die erste Nullstelle dieser Kurvenschar bestimmt haben. Jetzt werden die einen sagen; okay. Dafür gibt es das Hornerschema. Und den anderen fällt sofort Polynomdivision durch Linearfaktor ( PDLF ) ein. Eine anonyme Entdeckung aus dem Internet; der Entdecker ist ungefähr so unbekannt wie die mittelalterlichen Dombaumeister.
Deshalb haben weitaus die meisten Schüler und Studenten noch nie davon vernommen.
Das Hornerschema ist äquivalent PDLF ; seine Anhänger argumentieren: Du musst es eh durchlaufen; darum protokolliere doch die Zwischenergebnisse, statt sie nur im Kopf zu behalten. Fertig ist die PD .
Oder wer Horner schon mal programmiert haben sollte. Alles was du tun musst: Der Hornerroutine beim Aufruf den Arbeitsvektor mitgeben. ( Ich hege eh den Verdacht, dass Horner weit mehr ist als ein Rechenverfahren; da sind noch jede Menge Schätze zu heben. )
Im Folgenden führe ich nur die Notation ein. Zunächst das quietschende Schaltgetriebe der PDLF , exemplifiziert an Beispiel ( 1 )
f ( x ) : ( x - 1 ) = g ( x ) Rest f ( 1 ) ( 3a )
Dabei ist g ( x ) das Faktorpolynom ( 3. Grades ) ( Ist der Restterm verstanden? Steht im Übrigen in allen Skripten. )
Dagegen hinter Horner verbirgt sich doch nichts weiter als eine ( endliche ) ===> Folge
p < n > ( f ; 1 ) ; n = 4 , 3 , . . . , 0 ( 3b )
p0 ( f ; 1 ) = f ( 1 ) ( 3c )
In ( 3a ) " kommt das Selbe raus " wie in ( 3c ) - bloßer Zufall? In der Notation ( 3ab ) lautet der gesuchte Missing Link
p4;3;2;1 ( f ; 1 ) = a3;2;1;0 ( g ) ( 3d )
Ich kann es dir nur mitteilen; zum Leben erwecken musst du es selber.
p4 ( f ) := a4 ( f ) = 1 = a3 ( g ) ( 4a )
p3 ( f ; 1 ) := p4 + a3 ( f ) = 1 + 0 = 1 = a2 ( g ) ( 4b )
p2 ( f ; 1 ) := p3 + a2 ( f ) = 1 + 0 = 1 = a1 ( g ) ( 4c )
p1 ( f ; 1 , r ) := p2 + a1 ( f ; r ) = 1 - r = a0 ( g ) ( 4d )
p0 ( f ; 1 , r ) := p1 + a0 ( f ; r ) = ( 1 - r ) + ( r - 1 ) = 0 = f ( 1 ) ( 4e )
g ( x ; r ) = x ³ + x ² + x - ( r - 1 ) ( 5a )
Mit der CV von ( 1 ) sind wir in der Tat sicher, dass es zwei positive Wurzeln gibt. Zwei elementare Beispiele; gleich aus ( 1 ) siehrt man, dass x2 = 0 eintritt bei r = 1 . Mit x2 = 1 haben wir es nicht so leicht; dies ist ja eine Doppelwurzel. ( 1 ) hilft uns da nicht weiter. Dies wäre ein typisches Anwendungsbeispiel für ( 5a ) ; wir finden r = 4 .
In dem Intervall ( x1 ; x2 ) verläuft der Graf auf jeden Fall unterhalb der Abszisse. Wo ich der Aufgabe zur Not noch einen Sinn abgewinnen könnte: Vielleicht gibt es ein x2 ( max ) ; wir formulieren wieder mal eine Minimaxaufgabe. ich meine wenn umgekehrt x irgendwelchen Beschränkungen unterliegt und n nur hinreichend groß ist? Betrachten wir die Nullstelle von ( 5a ) und setzen ihre Ableitung gleich Null:
x ³ + x ² + x - ( r - 1 ) = 0 ( 5b )
3 x ² ( dx/dr ) + 2 x ( dx/dr ) + ( dx/dr ) - 1 = 0 ( 5c )
( dx/dr ) = 0 ===> 1 = 0 ( 5d ) ; Widerspruch
Wir haben eben bewiesen, dass x2 = x2 ( r ) eine STRENG MONOTON ( wachsende ) Funktion ist.
Schau mal hier; manchmal musst du Wolfram nur die richtigen Fragen vorkauen. Diese Grafik x2 = x2 ( r ) ist wirklich beeindruckend:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x++^++4++-++r++x++%2B++%28++r++-++1++%29%3D0 Nicht wahr; das sieht doch ganz verdächtig danach aus, dass dieser Plot asymptotisch gegen 2 ( oder so etwas Ähnliches ) konvergiert.
Genau der selbe Trugschluss wie bei der harmonischen Reihe. Für beliebig große x2 = n0 € |R kannst du doch her gehen und die ( in r lineare ) Gleichung ( 1 ) nach r umstellen. D.h. deine Behaupung wird sogar " um so falscher " , je größer n . . .
