Extremalproblem Schwierigkeiten

Question

Ich löse die Aufgabe die ganze Zeit falsch.

Ich habe:

Hauptbedingung :

A(r,x)=πr²+x²

Nebenbedingung:

2πr+4x=10

Zielfunktion:

r=(10-4x)/(2π)

A=π*[(10-4x) / (2π) ]² +x²

Jetzt liegt glaube ich mein Fehler nämlich ableiten und dann von der Ableitungsf. die Nullstellen berechnen.

Answer 1

2·pi·r + 4·x = 10 --> x = (5 - pi·r)/2

A = pi·r^2 + x^2 = pi·r^2 + ((5 - pi·r)/2)^2 = pi·r^2·(pi + 4)/4 - 5·pi·r/2 + 25/4

A' = pi·r·(pi + 4)/2 - 5·pi/2 = 0 --> r = 5/(pi + 4) = 0.7001239418

x = (5 - pi·r)/2 = (5 - pi·(5/(pi + 4)))/2 = 10/(pi + 4) = 1.400247883

Die Kantenlänge des Quadrates ist genau doppelt so groß wie der Radius des Kreises.

Comments

Danke.                      

Answer 2

 


     Hauptbedingung:



     F  (  r  ;  x  )  :=  Pi  r  ²  +  x  ²  =  max      (  1a  )



      Nebenbedingung




     G  (  r  ;  x  )  := Pi  r  +  2  x  =  U / 2  =  const        (  1b  )



    Zum Einsatz kommt das Verfahren des Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino. Den ===> Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Wir bilden die Linearkombination



    H  (  r  ;  x  )  :=  F  (  r  ;  x  ) -  k  G  (  r  ;  x  )      (  2a  )



    Notwendige Bedingung für Maximum: Gradient H verschwindet.



     H_x  =  2   (  x     -  k  )  =  0  ===>  k  =  x         (  2b  )

     H_r  =  Pi  (  2  r  -  k  )  =  0  ===> k  =  2  r       (  2c  )



   Aus ( 2bc ) folgt




     x  =  2  r     (  3  )



    Der ( Halb)kreis wird über dem Quadrat errichtet.