Basiswechsel und Darstellung in verschiedenen Basen

Question

Ich habe eine Frage zum Basiswechsel, bzw. der Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen.

Ich habe die Standardbasis des R² (e_1 und e_2) und eine weitere Basis (v_1 und v_2) explizit gegeben. Ich soll zuerst die Matrix C finden, die den Bezug zwischen der Standardbasis und der 2. Basis über e_j=v_i *C angibt. Hier eine erste Frage, müsste es mit diesen Dimensionen nicht C*v_i heißen? v_i*C würde meines Wissens von der Zeilen-Spalten-Anzahl nicht aufgehen.

Jedenfalls habe ich die neuen Basisvektoren als Linearkombination der alten geschrieben und die Linearfaktoren in die Spalten meiner Matrix geschrieben. Erhalten habe ich dann die Matrix, die die Gleichung v=C^-1*e löst. Also habe ich die Inverse dieser Matrix gebildet. Das müsste dann so stimmen oder?

Mein hauptsächliches Problem ist dieses:Ich sollte danach einen Punkt, der in der Standardbasis die Koord. (4I1) hat in den neuen Basis darstellen. Ich habe also (4I1) mit derjenigen Matrix multipliziert, die mir auch die neuen Basisvektoren ausgibt, wenn ich sie mit einem Standardbasisvektor multipliziere. Das ist aber falsch. Ich muss (4I1) mit derjenigen Matrix multiplizieren, die die neuen Basisvektoren in Standardbasisvektoren umwandelt. Das verwirrt mich sehr, könnte mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

Du hast also zwei Basen, eine alte und eine neue. Die alte Basis sei $${B}_{a}=\{{v}_{1},{v}_{2} \}$$ die neue $${B}_{n}=\{{w}_{1},{w}_{2} \}$$ . Aus den Basen bildest du zwei Matrizen, deren Spaltenvektoren die Basisvektoren sind. Diese Matrizen nennen wir jetzt B_a und B_n.

Einen beliebigen Vektor a kannst Du jetzt durch beide Basen ausdrücken $$a={ B}_{ a}.{ a}_{ a}= { B}_{ n}.{a}_{ n}$$, wobei a_a der Vektor in den Koordinaten der alten Basis und a_n der Vektor in den Koordinaten der neuen Basis ist.

Eine Transformationsmatrix kannst Du jetzt ausrechnen, indem du die Gleichung auflöst.

$${ a}_{ n}={B}_{n}^{-1} {B}_{a}.{a}_{a}$$ 

Versuch das einmal auf dein Problem anzuwenden.