Matrizen-Rechnung Variante . a so dass |A^{-1}*D^{-1}*A| = Spur(A^{-1}*D^{-1}*A)?

Question

ich benötige bei angehängter Fragestellung eure Hilfe. Ich hab überhaupt kein Ansatz wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Ich kann mir nur vorstellen, dass ich mit Hilfe von Umformungsregelungen die Aufgabe entzerre und Lösbar mache.

Habt ihr eine Idee ?

Answer 1

weil da so viele 0en sind, kannst du doch A-1 und D-1 leicht angegeben

M^-1 =

1               0             0
-2/3        1/3            0
-1/9        -5/18      1/6

und D^-1  =

1            0              0
0        -1/2             0
0           o              1/a

und dann lässt sich ja A-1*D-1*A ausrechnen

und das hat die Determinante -1 / 2a

und die Spur 1/2 + 1/a   .  Damit beides gleich ist,

muss gelten      -1 / 2a    =   1/2 + 1/a      | *2a

                             -1            =    a    +    2  

                              -3=a

                            

Comments

Gibts da eine Regel, dass man die Inverse schnell bestimmen kann ?

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Du kannst z.B. hier schauen. http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html 

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Hab das versucht nachzurechnen. Das kann nicht der gewollte Weg sein. ich muss das ohne Taschenrechner in ca 10Min lösen können. Ich hab hier alleine beim multiplizieren der drei Matrizzen teilweise Were von -1/243.

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Du musst nicht mit Brüchen rechnen. 

Suche den Hauptnenner einer Matrix und schreibe einen Bruch vor die Matrix. Du kannst ihn dann noch weiter raus auslammern. 

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Hab mal nen Moment nachgedacht und glaube es geht alles auch sehr viel schneller:

det ( A^-1 * D^-1 * A )

=  1/ det(a)    *   1/ det(D)   *  det (A)   =   1/det(D)    =    1  /    -2a

Spur geht zwar nicht faktorenweise aber es ist Spur(X*Y) = Spur(Y*X)

also auch Spur ( A^-1 * D^-1 * A) =   Spur ( A^-1 * A * D^-1 )

                                                      = Spur ( E * D-1 ) 

                                                      = Spur ( D^-1)  =  1 -1/2 + 1/a

Damit bräuchte man A^-1 noch nicht mal auszurechnen, und D^-1 ist ja nun wirklich

schnell hingeschrieben.