Ableitung von logarithmischer differenzierbarkeit

Question

ich habe eine Frage zur logarithmischen Differenzierbarkeit.

Aufgabe: x⁵ 

--> ln x⁵ --> 5 ln x 

und wenn man von 5 ln x die Ableitung nimmt, soll das Ergebnis 5 * (1/x)sein.

Ich verstehe aber nicht, warum hier keine Produktregel f(x)= u´* v + u * v´ angewandt wird?

Also wieso hier nicht das Ergebnis von  ln x + 5 * (1/x) rauskommt?

Comments

Wovon willst du die erste Ableitung bilden

x^5
oder
ln ( x^5 )

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Die Ableitung soll von  ln x^5 gebildet werden. Laut der log Formel: log (u^v)= v * log uist das dann ja 5 ln x. Also von 5 ln x die Ableitung soll gebildet werden.

Answer 1

Produktregel nur, wenn du das Produkt zweier Funktion in x hast. 5 ist doch keine Funktion in x. Bei 5x² würdest du doch auch nicht auf die Idee kommen, die Produktregel anzuwenden.

Answer 2

Die Produktregel zur Vereinfachung von Logarithmen kannst du natürlich verwenden. Dann bekommst du:

$$log(x^5)=5 \cdot log(x)$$

Aber warum solltest du das mit der Produktregel ableiten? Die 5 gibt abgeleitet immer 0! Das einzige was du machen könntest wäre die Kettenregel anzuwenden und zwar wie folgt:

$$ f(x) = log(x) $$ und $$g(x)=x^5$$

Damit folgt:

$$f'(x) = \underbrace{ \frac{1}{x^5}}_{f'(g(x))} \cdot \underbrace{5x^4}_{g'(x)} = \frac{5}{x}$$

Ist aber unnötig und auch nur dann ratsam, wenn die Umformung mit den Logarithmengesetzen nicht weiterhilft!

Answer 3

Allgemein

[ ln ( term ) ] ´ = 1 / term * ( term ´ )  oder ( term ´ ) /  term

Du kannst auf zweierlei Art vorgehen

ln ( x^5 ) = 1 / x^5 * ( x^5 ) ´ = 1 / x^5 * 5 * x^4 = 5 / x

oder

ln ( x^5 ) = 5 * ln ( x ) = 5 * 1 / x * ( x ´ ) = 5 * 1 / x * 1 = 5 / x