Wie berechne ich die Maßen eines Rechtecks mit einer Funktion in einem Koordinatensystem?

Question

Eine 12 m hohe Tennishalle hat ein parabelförmiges Profil. In die Giebelwand soll auf der Rückseite ein Rechteckiges Kunststofffenster maximaler Fläche eingebaut werden (Abb.). Bezogen auf das eingezeichnete Koordinatensystem kann die Innenwand der Halle durch die Funktion y= −(1/12)x² beschrieben werden. Die Mauer zwischen Fenster und der Innenwand wird modellhaft vernachlässigt. Welche Maße hat das Fenster?

Answer 1

Ich definiere die Parabel mal etwas anders

f(x) = 12 - 1/12·x^2

Halbes Fenster

A = x * f(x) = 12·x - 1/12·x^3

Maximal bedeutet Ableitung gleich Null

A' = 12 - 3/12·x^2 = 0 --> x = - 4·√3 ∨ x = 4·√3

Fensterbreite: 2 * 4·√3 = 13.86 m

Fensterhöhe: f(4·√3) = 12 - 1/12·(4·√3)^2 = 8 m

Comments

Wieso berechnet man zuerst das halbe Fenster?

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Das Fenster ist ja symmetrisch zur y-Achse. D.h. wenn das halbe Fenster maximal ist, dann ist auch das ganze Fenster maximal.

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Entsteht das x³ durch intergrieren?

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nein. Durch multiplikation mit dem x

x * f(x) 

= x * (12 - 1/12·x²)