Betragsungleichung mit Betrag auf beiden Seiten der Ungleichung

Question

Die Aufgabe lautet: |x ² + 4x +3| > |x+3|

Ich kenne eigentlich die Lösungsvariante mit Fallunterscheidung für Betragsungleichungen. Doch in allen Beispielen die ich gefunden habe

ist auf einer Seite der Ungleichung kein Betrag und man kann dann nach "x" für

den Fall auflösen und kann die Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen.

Comments

Hier schon einmal vorab

Wichtig ist festzustellen wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen ( Beispiel )




|x ² + 4x +3| > |x+3|

Bei dir x = -3, x = -1

Zahlenstrahl zeichnen, x-Werte markieren, Bereiche ( 3 ) feststellen.
x < -3
-3 < x < -1
x > -1

---

mein Lösungsversuch soweit:

mach ich da was falsch?

Answer 1

Siehe die Kommentare direkt bei der Frage :

Mach ich da was falsch. Ja.

Fall 1 :
x ≥ -1
x + 1 > 1  | -1
x > 0

Zusammen
x ≥ -1 und x > 0

x > 0

] 0 ; ∞ [

Comments

Ist zwar irgendwie keine umfassende Antwort auf meine eigentliche Aufgabe bezogen,

doch hast du auf jeden Fall recht mit dem Fehler von mir in Fall 1.  Und da wohl keine

"schönere" Antwort mehr kommt akzeptiere ich deine Antwort. danke für die Mühe

---

Du sollst nicht unwissend sterben.

Du hast die Antwort vom anderen Antwortgeber als Basis
für deine Berechnungen genommen.
Dies habe ich dann richtig zu Ende geführt.

Wir können auch noch nach meinem ( dem üblichen ) Vorschlag
vorgehen.

mfg Georg

Answer 2

Für \(x=-3\) gilt die Ungleichung sicher nicht. Sonst ist$$\quad\ \vert x^2+4x+3\vert>\vert x+3\vert$$$$\Leftrightarrow\vert x+1\vert\cdot\vert x+3\vert>\vert x+3\vert$$$$\Leftrightarrow\vert x+1\vert >1.$$