Betragsungleichung mit Bruch: |x+1|/x < 2.

Question

kann mir jemand für folgende Aufgabe den Lösungsweg zeigen?

Bekomme das mit der Fallunterscheidung gerade nicht mehr hin..

Comments

Kann mit der Antwort leider nichts anfange. Ein Lösungsweg als Beispiel wäre toll, damit ich nach diesem Muster auch andere Aufgaben lösen könnte...

Answer 1

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier x = -1

Ebenfalls muß unterschieden werden ob das x im Nenner positiv
oder negativ ist. x = 0. Wir wollen in den weiteren Berechnungen
das x im Nenner durch eine Multiplikation entfernen.

siehe handschriftliches | * x. Da im ersten Fall x < -1 also negativ ist
dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

Comments

~plot~ abs(x+1) / x - 2 ~plot~

Alles unterhalb der x-Achse gehört zur Lösungmenge

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Danke für die Mühe!

Habe jetzt mal eine Aufgabe versucht so zu rechnen aber irgendwo mach ich noch was falsch.

Sieht jemand wo mein Fehler liegt?

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okay, habs nochmal gerechnet und jetzt stimmts.

Answer 2

Es gibt 3 Fälle;

x>0

-1<=x<0

x<-1

Answer 3

Die Ungleichung gilt offenbar für alle \(x<0\). Für \(x>0\) ist$$\frac{\vert x+1\vert}x<2\Leftrightarrow(2x)^2-(x+1)^2>0\Leftrightarrow (3x+1)(x-1)>0\Leftrightarrow x>1.$$